Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2026

1 Aufgabe

Ein Dienstleister untersucht das Verhalten von insgesamt 6000 ausgewählten Kunden. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass die ausgewählten Personen über mehrere Jahre hinweg Kunden des Dienstleisters bleiben. Gemäß den betrachteten Kundenpräferenzen ist dieser Personenkreis in drei Gruppen aufgeteilt, die mit A, B und C bezeichnet werden. Die Kundenverteilung auf die drei Gruppen kann durch Vektoren der Form $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ beschrieben werden, wobei a, b und c die Anzahlen der Kunden aus Gruppe A, B bzw. C sind. Die Werte von a, b und c können sich im Laufe der Zeit ändern. Die Entwicklung der Kundenverteilung vom Ende eines Jahres n zum Ende des nächsten Jahres wird modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = P \cdot \vec{v}_n$ mit

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0 & 0 \\ 0{,}3 & 0{,}6 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}8 \end{pmatrix} \quad \text{und } n \in \mathbb{N}$$

beschrieben, wobei $\vec{v}_0$ die Kundenverteilung zu Beginn der Beobachtung bezeichnet.

a)

Stellen Sie die Entwicklung der Kundenverteilung vom Ende eines Jahres zum Ende des nächsten Jahres in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b)

Am Ende eines Jahres befinden sich 2500 Kunden in Gruppe A, 1900 Kunden in Gruppe B und die verbleibenden Kunden in Gruppe C. Bestimmen Sie die Kundenverteilung zum Ende des nächsten Jahres. [2 BE]

c)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage auf Grundlage des gegebenen Modells falsch ist:

Am Ende des Jahres nach Beobachtungsbeginn gibt $\begin{pmatrix} 3204 \\ 2004 \\ 792 \end{pmatrix}$ die Kundenverteilung an.

[2 BE]

d)

Begründen Sie, dass die Anzahl der Kunden in Gruppe A vom Ende eines Jahres bis zum Ende des folgenden Jahres um jeweils $40\,\%$ abnimmt.

Am Ende eines Jahres wird festgestellt, dass die Anzahl der Kunden in Gruppe A erstmals kleiner als zwei Prozent der Anzahl der Kunden in Gruppe A zu Beginn der Beobachtung ist. Ermitteln Sie, wie viele Jahre seit Beginn der Beobachtung vergangen sind. [4 BE]

e)

Dem Dienstleister ist aufgrund neuer Erkenntnisse bekannt, dass es eine Kundenverteilung gibt, die sich vom Ende eines Jahres zum Ende des nächsten Jahres nicht verändert und bei der sich außerdem viermal so viele Kunden in Gruppe C wie in Gruppe B befinden. Um das Modell auf diese neuen Erkenntnisse abzustimmen, wird die Matrix P angepasst: Die Übergangsrate von Gruppe B zu Gruppe C wird verändert, während alle anderen Übergangsraten zwischen verschiedenen Gruppen unverändert bleiben. Bestimmen Sie die Übergangsrate von Gruppe B zu Gruppe C im angepassten Modell. [4 BE]