Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2018

In einer Stadt gibt es zwei Baumärkte A und B. Modellhaft soll davon ausgegangen werden, dass von den Kunden, die in einem Monat bei den Baumärkten A und B einkaufen, im nächsten Monat stets $70\,\%$ bzw. $80\,\%$ wieder beim selben Baumarkt einkaufen. Die anderen Kunden wechseln jeweils zum anderen Baumarkt.

a

Stellen Sie das Wechseln der Kunden zwischen den Baumärkten von einem Monat zum nächsten in einem Übergangsdiagramm dar. [2 BE]

b

In einem bestimmten Monat hat der Baumarkt A $4000$ Kunden und der Baumarkt B $6000$ Kunden. Ermitteln Sie für jeden der beiden Baumärkte die Anzahl der Kunden, die im folgenden Monat zum jeweils anderen Baumarkt wechseln und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. [3 BE]

In der Stadt eröffnet ein dritter Baumarkt C. Die Verteilungen der Kunden auf die Baumärkte A, B und C werden modellhaft durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ beschrieben, wobei $a$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts A, $b$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts B und $c$ die Anzahl der Kunden des Baumarkts C bezeichnet. Damit kann die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat $n$ zum nächsten durch die Matrix $$M = \begin{pmatrix} 0{,}63 & 0{,}18 & 0{,}3 \\ 0{,}27 & 0{,}72 & 0{,}45 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}25 \end{pmatrix}$$ und die Gleichung $M \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ beschrieben werden.

In einem Sommermonat hat der Baumarkt A $3700$ Kunden, der Baumarkt B $5100$ Kunden und der Baumarkt C $1200$ Kunden.

c

Geben Sie ein Gleichungssystem an, mit dem die Anzahlen der Kunden der Baumärkte im Monat vor dem genannten Sommermonat ermittelt werden können. [2 BE]

d

In dem Monat, der auf den genannten Sommermonat folgt, hat der Baumarkt A $3609$ Kunden. Berechnen Sie für diesen Monat die Anzahlen der Kunden der Baumärkte B und C. Geben Sie den prozentualen Anteil der Kunden des Baumarkts C an der Gesamtzahl der Kunden der drei Baumärkte an. [3 BE]

%

e

Geben Sie an, für welchen der drei Baumärkte der Anteil der Kunden, die von einem Monat zum nächsten zu einem anderen Baumarkt wechseln, am kleinsten ist. Nennen Sie den zugehörigen Anteil. [2 BE]

Baumarkt A

Baumarkt B

Baumarkt C

%

f

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $M \cdot M \cdot M$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

Der Baumarkt C muss befürchten, den für seinen wirtschaftlichen Erfolg notwendigen Anteil von $25\,\%$ der Kunden aller drei Baumärkte nicht zu erreichen. Der Baumarkt führt deshalb Rabattaktionen durch, mit deren Hilfe Kunden gebunden werden sollen. Ab dem Monat, in dem die Aktionen beginnen, lässt sich das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten im Modell durch eine Matrix $$N = \begin{pmatrix} 0{,}63 & 0{,}18 & 0{,}4 \cdot (1 - p) \\ 0{,}27 & 0{,}72 & 0{,}6 \cdot (1 - p) \\ 0{,}1 & 0{,}1 & p \end{pmatrix} \quad \text{mit } p \in [0; 1]$$ beschreiben.

g

In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen beträgt die Anzahl der Kunden für den Baumarkt A $3650{,}38 - 470{,}6 \cdot p$ und für den Baumarkt B $5467{,}27 - 705{,}9 \cdot p$; die drei Baumärkte haben zusammen $10000$ Kunden. Ermitteln Sie, in welchem Bereich der prozentuale Anteil der Kunden des Baumarkts C in diesem Monat liegen kann. [4 BE]

Von ca. % bis ca. %

h

In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen hat der Baumarkt A $3556$ Kunden, der Baumarkt B $5326$ Kunden und der Baumarkt C $1118$ Kunden. Im folgenden Monat hat der Baumarkt C $1112$ Kunden. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $p$. [2 BE]