Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung GK · Teil A · Lineare Algebra (2019)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird eine Population von Käfern in ihren unterschiedlichen Entwicklungsstadien. Zusammensetzungen der Population werden durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ K \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $K$ die Anzahl der voll entwickelten Käfer ist. Die Entwicklung der Population von einem Monat zum nächsten wird durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben.

Geben Sie die Matrix $M^2$ an. [1 BE]

Es gilt $M^3 = \begin{pmatrix} \frac{a}{8} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a}{8} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a}{8} \end{pmatrix}$ . Interpretieren Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang.

Beschreiben Sie in Abhängigkeit von $a$ , wie sich die Population langfristig entwickelt. [4 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Matrix $M^2$ - Zeile 1, Spalte 1

Lösung: 0

a) Matrix $M^2$ - Zeile 1, Spalte 2

Lösung: $\frac{a}{2}$

a) Matrix $M^2$ - Zeile 1, Spalte 3

Lösung: 0

a) Matrix $M^2$ - Zeile 2, Spalte 1

Lösung: 0

a) Matrix $M^2$ - Zeile 2, Spalte 2

Lösung: 0

a) Matrix $M^2$ - Zeile 2, Spalte 3

Lösung: $\frac{a}{4}$

a) Matrix $M^2$ - Zeile 3, Spalte 1

Lösung: $\frac{1}{8}$

a) Matrix $M^2$ - Zeile 3, Spalte 2

Lösung: 0

a) Matrix $M^2$ - Zeile 3, Spalte 3

Lösung: 0

b) Interpretieren Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie in Abhängigkeit von a, wie sich die Population langfristig entwickelt.

Lösung: Jeweils innerhalb von drei Monaten verändern sich die Anzahlen der Eier, Larven und Käfer mit dem Faktor $\frac{a}{8}$ . Für $a < 8$ stirbt die Population langfristig aus, für $a = 8$ erreichen die Anzahlen der Eier, Larven und Käfer alle drei Monate die Anfangswerte und für $a > 8$ nehmen diese Anzahlen dauerhaft zu.

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