Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2018

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt $n$ mit $n \in \mathbb{N}$ wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Verteilungsvektor $\vec{v_n} = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ beschrieben. Dabei gibt $a_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und $b_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Die Abbildung beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten.

Mithilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $M$ kann die Entwicklung der Zustandsverteilung durch $\vec{v_{n+1}} = M \cdot \vec{v_n}$ beschrieben werden.

a)

Berechnen Sie $M^2$.

$m_{11} =$

$m_{12} =$

$m_{21} =$

$m_{22} =$

b)

Beschreiben Sie, wie man zu jedem Verteilungsvektor $\vec{v_{n+2}}$ den Verteilungsvektor $\vec{v_n}$ bestimmen kann.