Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2019

Bei Insekten der Arten $\alpha$ und $\beta$ sind jeweils drei Lebensstadien zu unterscheiden: aus einem Ei entwickelt sich über ein Larvenstadium ein ausgewachsenes Insekt. Für jede der beiden Arten lässt sich die Entwicklung einer Population von einer Woche $n$ zur nächsten modellhaft durch eine Gleichung beschreiben:

$\bullet$ Art $\alpha$: $\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_n$ mit $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0{,}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$

$\bullet$ Art $\beta$: $\vec{w}_{n+1} = B \cdot \vec{w}_n$ mit $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 20 \\ 0{,}15 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}3 & 0{,}1 \end{pmatrix}$

Dabei haben die Vektoren $\vec{v}_n$ und $\vec{w}_n$ jeweils die Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ I \end{pmatrix}$, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $I$ die Anzahl der ausgewachsenen Insekten angibt.

a

Stellen Sie die Entwicklung einer Population der Art $\beta$ in einem Übergangsdiagramm dar. [2 BE]

In einem ersten Raum befindet sich eine Population der Art $\alpha$, in einem zweiten eine Population der Art $\beta$. Jede der beiden Populationen setzt sich zu Beobachtungsbeginn aus $11600$ Eiern, $1880$ Larven und $240$ ausgewachsenen Insekten zusammen.

b

Der Abbildung kann für jede der beiden Arten für bestimmte Zeitpunkte nach Beobachtungsbeginn jeweils die Anzahl der ausgewachsenen Insekten entnommen werden. Dabei werden die Anzahlen für die Art $\alpha$ durch Kreuze und für die Art $\beta$ durch Punkte dargestellt. Ergänzen Sie die zwei fehlenden Kreuze. [3 BE]

c

Interpretieren Sie die folgenden richtigen Aussagen jeweils im Sachzusammenhang: [3 BE]

$\bullet$ Zu $B$ existiert eine Grenzmatrix $B_G$.

$\bullet$ Alle Einträge der Matrizen $A^n$ werden mit wachsendem Wert von $n$ beliebig groß.

d

Es gilt $B_G = \begin{pmatrix} \frac{9}{28} & \frac{15}{7} & \frac{50}{7} \\ \frac{27}{560} & \frac{9}{28} & x \\ \frac{9}{560} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$. Ermitteln Sie den Wert von $x$. [2 BE]

Die Vektoren, die die Zusammensetzungen von Populationen der beschriebenen Insektenarten darstellen, lassen sich auch geometrisch auffassen.

e

Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen den beiden Vektoren, die die Zusammensetzungen der Populationen im ersten und zweiten Raum drei Wochen nach Beobachtungsbeginn darstellen. [3 BE]

°

f

Beurteilen Sie jede der beiden folgenden Aussagen: [4 BE]

$\bullet$ Wenn zwei Vektoren $\vec{v}_n$ und $\vec{w}_n$, deren Komponenten ungleich null sind, einen Winkel der Größe $0^\circ$ einschließen, dann stimmen die Verhältnisse der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten in den beiden Populationen überein.

$\bullet$ Je größer der Betrag eines Vektors $\vec{v}_n$ oder $\vec{w}_n$ ist, desto größer ist die Summe der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten in der Population.

In einem dritten Raum befindet sich eine Population der Art $\alpha$. Um eine Methode zu finden, deren starkes Wachstum einzuschränken, werden im Modell unabhängig voneinander zwei verschiedene Eingriffe in die Entwicklung einer Population der Art $\alpha$ betrachtet.

g

Der erste Eingriff besteht darin, die Überlebensrate der ausgewachsenen Insekten zu verändern. Untersuchen Sie, ob dadurch die Gesamtzahl der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten nach oben beschränkt werden kann. [3 BE]

Nach dem zweiten Eingriff ließe sich die Entwicklung der Population im Modell mithilfe einer Matrix der Form $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ t & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ mit $0 \le t < 0{,}1$ beschreiben.

h

Interpretieren Sie die Wirkung des zweiten Eingriffs im Sachzusammenhang. [2 BE]

i

Es gibt einen Wert von $t$, für den sich bestimmte Zusammensetzungen der Population – mit mindestens einem ausgewachsenen Insekt – von einer Woche zur nächsten nicht verändern. Ermitteln Sie diese Zusammensetzungen und den zugehörigen Wert von $t$. [3 BE]