Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung LK · Teil A · Lineare Algebra (2018)

Aufgabenstellung

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt nn mit n∈Nn \in \mathbb{N} wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Vektor vn⃗=(anbn)\vec{v_n} = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} beschrieben. Dabei gibt ana_n denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und bnb_n denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Die Tabelle beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten:

Mithilfe der zugehörigen Übergangsmatrix MM kann die Entwicklung der Zustandsverteilung durch v⃗n+1=M⋅v⃗n\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n beschrieben werden.

a)

Erstellen Sie das zugehörige Übergangsdiagramm.

b)

Für v⃗0=(a0b0)\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \end{pmatrix} gilt 0<a0<10 < a_0 < 1 und 0<b0<10 < b_0 < 1. Begründen Sie, dass mit zunehmendem Wert von nn eine Koordinate des Vektors v⃗n\vec{v}_n kleiner wird, während die andere größer wird.

c)

Geben Sie eine Zustandsverteilung v⃗\vec{v} an, für die M⋅v⃗=v⃗M \cdot \vec{v} = \vec{v} gilt.

v⃗=(\vec{v} = ($

))

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Lösung

Lösung von AprenAI (nicht die offizielle)

a) Erstellen Sie das zugehörige Übergangsdiagramm.

Lösung: Das Übergangsdiagramm besteht aus zwei Zuständen AA und BB. Vom Zustand AA führt eine Schleife mit der Übergangswahrscheinlichkeit 0,70{,}7 auf sich selbst und ein Pfeil mit der Wahrscheinlichkeit 0,30{,}3 zum Zustand BB. Vom Zustand BB führt eine Schleife mit der Wahrscheinlichkeit 11 auf sich selbst (kein Pfeil von BB nach AA).

b) Für v⃗0=(a0b0)\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \end{pmatrix} gilt 0<a0<10 < a_0 < 1 und 0<b0<10 < b_0 < 1. Begründen Sie, dass mit zunehmendem Wert von n eine Koordinate des Vektors v⃗n\vec{v}_n kleiner wird, während die andere größer wird.

Lösung: Der Tabelle bzw. dem Übergangsdiagramm ist zu entnehmen, dass Übergänge nur vom Zustand A in den Zustand B stattfinden, aber keine von B nach A. In jedem Schritt verbleiben 70 %70\,\% des Bestands von A in A und 30 %30\,\% gehen nach B über, also gilt an+1=0,7⋅ana_{n+1} = 0{,}7 \cdot a_n. Wegen a0>0a_0 > 0 wird der Anteil ana_n mit wachsendem nn streng monoton kleiner. Wegen an+bn=1a_n + b_n = 1 bzw. bn+1=bn+0,3⋅anb_{n+1} = b_n + 0{,}3 \cdot a_n wird die Koordinate bnb_n entsprechend mit wachsendem nn streng monoton größer.

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