Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 4 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.

Gegeben sind die Übergangsmatrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 \end{pmatrix}$ und der Zustandsvektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Die Vektoren der folgenden Zustände ergeben sich aus $\vec{v}_{i+1} = A \cdot \vec{v}_i$ mit $i \in \mathbb{N}$.

a

Berechnen Sie $\vec{v}_2$.

\vec{v}_2 = \left($

$\right)

b

Untersuchen Sie, ob es einen Zustandsvektor $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ z \end{pmatrix}$ mit $x, z \in \mathbb{R}$ gibt, sodass $\vec{w} = A \cdot \vec{w}$ gilt.