Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2026

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung LK · Teil A · Lineare Algebra (2026)

Aufgabenstellung

Für jede Matrix M=(abcd)M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} mit a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R} heißt die Matrix MT=(acbd)M^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} transponierte Matrix von MM. Eine Matrix MM heißt orthogonal, wenn M⋅MT=(1001)M \cdot M^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} gilt.

a

Geben Sie eine orthogonale Matrix der Form MM mit a,b,c,d∈{0;1}a, b, c, d \in \{0; 1\} an, die sich von der Einheitsmatrix unterscheidet.

(($

))

b

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt orthogonale Matrizen der Form MM mit a=d=135a = d = \frac{1}{3}\sqrt{5}, die ungleich sind.

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2026

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Geben Sie eine orthogonale Matrix der Form M mit a,b,c,d ∈ {0; 1} an, die sich von der Einheitsmatrix unterscheidet.

Lösung: (0110)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

b Beurteilen Sie die folgende Aussage: Es gibt orthogonale Matrizen der Form M mit a = d = 1/3 √5, die ungleich sind.

Lösung: Die Aussage ist wahr.

a Geben Sie eine orthogonale Matrix der Form M mit a, b, c, d in {0; 1} an, die sich von der Einheitsmatrix unterscheidet. (Eintrag c / m10)

Lösung: 1 / 0

a Geben Sie eine orthogonale Matrix der Form M mit a, b, c, d in {0; 1} an, die sich von der Einheitsmatrix unterscheidet. (Eintrag d / m11)

Lösung: 0 / 1

b Beurteilen Sie die folgende Aussage: Es gibt orthogonale Matrizen der Form M mit a = d = 1/3 * sqrt(5), die ungleich sind.

Lösung: Die Aussage ist wahr. Mit a^2 + b^2 = 1 folgt b^2 = 1 - 5/9 = 4/9, also b = 2/3 oder b = -2/3.

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