Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2026

2 Ein Unternehmen fertigt aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$. Aus den Zwischenprodukten werden die Endprodukte $E_1$ und $E_2$ gefertigt.

Der Bedarf an Rohstoffen für die erste Stufe des Fertigungsprozesses kann mithilfe der Gleichung$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$$beschrieben werden und der Bedarf an Zwischenprodukten für die zweite Stufe mithilfe der Gleichung$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.$$Dabei geben die Einträge der Vektoren $\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten (ME) der drei Rohstoffe, der drei Zwischenprodukte bzw. der beiden Endprodukte an.

a)

Von den Endprodukten $E_1$ und $E_2$ soll jeweils eine Mengeneinheit gefertigt werden. Bestimmen Sie für jedes der drei Zwischenprodukte und für den Rohstoff $R_1$ die benötigte Anzahl der Mengeneinheiten.

b)

Es gilt:$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 & 33 \\ 35 & 34 \\ 40 & 39 \end{pmatrix}.$$Geben Sie die Bedeutung der berechneten Matrix im Sachzusammenhang an.

c)

Von jedem der drei Rohstoffe sind genau 429 ME vorhanden. Für einen Auftrag soll das Endprodukt $E_1$ nicht gefertigt werden. Ermitteln Sie für diesen Auftrag, wie viele Mengeneinheiten von $E_2$ mit den vorhandenen Rohstoffen maximal gefertigt werden können.

d)

Der folgenden Tabelle können für die Rohstoffe die Anschaffungskosten pro Mengeneinheit in Geldeinheiten entnommen werden.

Rohstoff · $R_1$ · $R_2$ · $R_3$

Anschaffungskosten · 5 · 6 · 7

Für jeden der drei Rohstoffe wird in den kommenden fünf Jahren von einem konstanten jährlichen prozentualen Anstieg der Anschaffungskosten ausgegangen. Für die Rohstoffe $R_1$ und $R_2$ beträgt dieser prozentuale Anstieg 3 % pro Jahr. Die Produktion des Endprodukts $E_1$ bleibt nur dann rentabel, wenn die gesamten Anschaffungskosten der Rohstoffe zur Fertigung von $E_1$ in den kommenden fünf Jahren um insgesamt höchstens 20 % ansteigen. Hierzu darf der jährliche prozentuale Anstieg der Anschaffungskosten für den Rohstoff $R_3$ nicht zu groß sein. Bestimmen Sie den maximalen Wert dieses prozentualen Anstiegs pro Jahr.

%