Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere eines Wildtierbestands in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Die Entwicklung dieser weiblichen Tiere lässt sich in drei Lebensphasen einteilen: Nachkommen werden im Frühjahr geboren und im ersten Lebensjahr als Kitze sowie im Alter von einem Jahr als Jungtiere bezeichnet; Tiere ab einem Alter von zwei Jahren gelten als erwachsen.

In einem Modell werden Zusammensetzungen der Population durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} \text{K} \\ \text{J} \\ \text{E} \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $\text{K}$ die Anzahl der Kitze, $\text{J}$ die Anzahl der Jungtiere und $\text{E}$ die Anzahl der erwachsenen Tiere bezeichnet. Zu Beginn der Beobachtung der Population wird deren Zusammensetzung durch den Vektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 115 \\ 65 \\ 320 \end{pmatrix}$ dargestellt. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten Jahr lässt sich durch die Matrix$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}65 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$und die Gleichung $R \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ beschreiben.

a)

Berechnen Sie im Modell für die Zeitpunkte sechs, sieben, acht und neun Jahre nach Beobachtungsbeginn jeweils die Anzahl der Kitze, die Anzahl der Jungtiere und die Anzahl der erwachsenen Tiere.

Jahr $n$

Kitze $K$

Jungtiere $J$

Erwachsene $E$

$6$

$7$

$8$

$9$

b)

Ermitteln Sie im Modell für die Zeitpunkte sieben, acht und neun Jahre nach Beobachtungsbeginn jeweils die prozentuale Zunahme der Anzahl aller Tiere der Population gegenüber dem Vorjahr. Stellen Sie anhand der ermittelten Werte eine Vermutung dazu auf, wie sich das Wachstum der Population ohne Verwendung von Matrizen näherungsweise beschreiben lässt.

%

%

%

c)

Berechnen Sie auf der Grundlage Ihrer Vermutung, auf wie viele Tiere die Population 15 Jahre nach dem Zeitpunkt angewachsen ist, zu dem die Population aus 1690 Tieren bestand. Geben Sie einen Grund dafür an, dass dieser Wert der Realität möglicherweise nicht gerecht wird.