Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Haupttermin · CAS

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(1) Einer der nachstehenden Graphen I, II und III ist der Graph von $f$.

Geben Sie an, welche Graphen dafür nicht in Betracht kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der oben stehenden Abbildung 1 ablesen.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = (x+2) \cdot e^{-x+4},\ x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie die Extremstelle der Funktion $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = (x+2) \cdot e^{-x+4},\ x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die genauen Größen der y-Werte kommt es dabei nicht an.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung

$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(1)

Geben Sie für die Funktion $f_1$ mit $f_1(x) = (x+2)(2x+1)e^x$ die Nullstellen an.

(2)

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$.

Begründen Sie, dass für den dargestellten Graphen in Abbildung 3 $a = 0$ gilt.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung

$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

d) Es seien die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A(3|4|2)$ und $B(8|-11|12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ -6{,}5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, auf der die Punkte $A$ und $B$ liegen.

(2)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt. Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander.

(3)

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, welche die Gerade $g$ in $A$ schneidet.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

e) Betrachtet werden die Punkte $A(5|0|z)$ und $B(2|4|5)$. Mit $O$ ist der Koordinatenursprung gemeint.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $z$, bei dem der Abstand zwischen $A$ und $B$ gleich 5 ist.

(2)

Ermitteln Sie den Wert von $z$, bei dem das Dreieck $OAB$ am Punkt $B$ einen rechten Winkel besitzt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(1)

Der Graph von $f$ ist unter den folgenden Graphen I, II und III zu finden.

Geben Sie an, welche Graphen dafür nicht in Betracht kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der oben stehenden Abbildung 1 ablesen.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot \mathrm{e}^{-x+4}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1) Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie die Extremstelle von $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot \mathrm{e}^{-x+4}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die genauen $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(1)

Geben Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f_1$ mit $f_1(x)=(x+2)(2x+1)e^x$ an.

(2)

In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$ dargestellt. Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a=0$.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Graph der Funktion $f_a$ durch den Punkt $P(3\mid 40e^3)$ verläuft.

$a =$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

d) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0{,}5$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ verläuft symmetrisch um den Erwartungswert.

(1)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung. [3 Punkte]

(2)

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ gilt näherungsweise $2\,\%$.

Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$. [2 Punkte]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

e) In den folgenden Teilaufgaben werden immer zwei Würfel zusammen geworfen. Die Seiten beider Würfel sind jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet.

(1)

Beide Würfel werden ein einziges Mal geworfen.

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt. [2 Punkte]

(2)

Beide Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, bei wie vielen dieser Würfe keine „6“ fällt.

Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zeigt. [3 Punkte]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

Einer der unten abgebildeten Graphen I, II und III ist der Graph von $f$.

Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

(1)

Graph

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f$ und der x-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der oben stehenden Abbildung 1 ablesen.

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot e^{-x+4}, x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie die Extremstelle der Funktion $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

$x =$

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot e^{-x+4}, x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Verlauf des Graphen der Ableitung von $f$.

Hinweis: Auf die genauen $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung

$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(1)

Geben Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f_1$ mit $f_1(x)=(x+2)(2x+1)e^x$ an.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

In Abbildung 3 wird der Graph der Funktion $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$ dargestellt.

Begründen Sie, warum für den in Abbildung 3 dargestellten Graphen $a=0$ gilt.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung

$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

d) Betrachtet werden die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A(3|4|2)$ und $B(8|-11|12)$ sowie die Gerade $g$ mit folgender Gleichung

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ -6{,}5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie eine Gleichung für die Gerade $h$ an, auf der die Punkte $A$ und $B$ liegen.

(2)

Weisen Sie nach, dass $A$ ein Punkt der Geraden $g$ ist. Untersuchen Sie, wie die Geraden $g$ und $h$ zueinander liegen.

(3)

Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade an, welche $g$ in $A$ schneidet.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

e) Nachfolgend werden immer zwei Würfel zugleich geworfen. Die Seiten jedes dieser Würfel tragen die Zahlen von 1 bis 6.

(1)

Die beiden Würfel werden ein Mal geworfen.

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hierbei keine „6“ erscheint, $\frac{25}{36}$ beträgt.

(2)

Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, bei wie vielen Würfen keine „6“ erscheint.

Begründen Sie zu jeder der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.

Aufgabenstellung:

Man betrachtet die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $f$ ausschließlich an der Stelle $x = 1$ eine Nullstelle besitzt.

a) (2)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ rechnerisch auf lokale Extrempunkte.

[Kontrolllösung: An der Stelle $x = 2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor.]

a) (3)

Ermitteln Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $|f(x)| < 0{,}1$.

Teilaufgabe b)

$P_u(u \mid f(u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$. $P_u$ legt zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ das Dreieck $NF_uP_u$ fest.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 dasjenige Dreieck $NF_uP_u$ ein, bei dem $P_u$ im Hochpunkt von $f$ liegt.

b) (2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus b) (1).

b) (3)

Untersuchen Sie, ob $P_u$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $NF_uP_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ hat.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$, $x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

c) (1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt.

c) (2)

Die Schnittpunkte der in c) (1) gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck fest.

Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks.

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.

d) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t_R$.

[Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.]

d) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $y = -x$ wird als „2. Winkelhalbierende“ bezeichnet.

Bestimmen Sie den Punkt, in dem sich $t_R$ und die 2. Winkelhalbierende schneiden.

d) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_R$ von der 1. Winkelhalbierenden hat.

Aufgabenstellung:

Man betrachtet die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

c) (3)

Auf dem Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die in c) (1) angegebene Tangente $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$ und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $F$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4+5x^3.$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass $(12 \mid 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$, die die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ enthält.

$y =$

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu $g$ parallele Gerade ein, die für $0 \leq x \leq 8$ genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von $f$ besitzt.

a) (3)

Für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ legen die Punkte $O(0 \mid 0)$, $B(b \mid 0)$ und $C(b \mid f(b))$ ein Dreieck $OBC$ fest.

Ermitteln Sie den Wert von $b$, bei dem das Dreieck $OBC$ den größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]

$b \approx$

$A_{\max} \approx$

FE

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4+5x^3.$$

Teilaufgabe b)

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

b) (1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ gewinnen lässt.

b) (4)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 16]$, an denen die Graphen der Funktionen $f$ und $h_3$ in vertikaler Richtung $250$ Längeneinheiten voneinander entfernt sind.

Geben Sie die drei gesuchten $x$-Werte an, gerundet auf eine Nachkommastelle:

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4+5x^3.$$

Teilaufgabe b) (2)

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt.

$a =$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4+5x^3.$$

Teilaufgabe b)

(3)

Die Gleichung $f(x) = h_{3{,}75}(x)$ hat genau die drei Lösungen $x_1 = 0$, $x_2 = 6$ und $x_3 = 10$ und es gilt $\int_{0}^{10} (f(x) - h_{3{,}75}(x))\,\mathrm{d}x = 0$.

Erläutern Sie, was diese Aussage geometrisch für die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ bedeutet.

Teilaufgabe c)

In einem Tank bewahrt ein Unternehmen Glyzerin auf. Für $0 \leq x \leq 20$ wird die momentane Änderungsrate des Tankinhalts durch die Funktion $f$ (aus a)) modelliert. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank $1200\text{ kg}$ Glyzerin.

(1)

Der Punkt $(4 \mid 240)$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Interpretieren Sie die beiden Koordinaten dieses Punktes im Zusammenhang der Sachsituation.

(2)

Beurteilen Sie diese Aussage: „Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten.“

(3)

Bestimmen Sie, um wie viel der Tankinhalt im Zeitraum von acht bis zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn zunimmt.

(4)

Berechnen Sie die Glyzerinmenge, die sich 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet.

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors nützlich: Keine einzelne Person kennt ihn, sondern er lässt sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den Code bestimmen, indem sie diese in ein Computersystem eintragen, das mit den Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code drei Ziffern hat.

a)

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Der geheime Code ergibt sich aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(1)

Ins System werden die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ eingegeben. Berechnen Sie den geheimen Code.

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Als Teilgeheimnis erhält ein vierter Mitarbeitender den Punkt $D(12|12|5)$. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der sich von $C$ und $S$ unterscheidet, sodass das System den geheimen Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermitteln kann.

b)

Für ein $a \in \mathbb{R}$ ist die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$, gegeben. Die Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) mit der Geraden $h_a$ bilden den geheimen Code.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $g$ und $h_a$ sich im Punkt $S$ schneiden.

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnis jeweils die Koordinaten eines Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_4$ liegt und von $S$ verschieden ist.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist und sich von $(-7|8|-1)$ und $S$ unterscheidet.

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors nützlich: Keine einzelne Person kennt ihn, sondern er lässt sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den Code bestimmen, indem sie diese in ein Computersystem eintragen, das mit den Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code drei Ziffern hat.

Ein weiteres Unternehmen nutzt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ in einem gleichschenkligen Dreieck $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$.

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, nämlich $I(4\mid 3\mid 2)$, $J(8\mid 6\mid -1)$ und $K(6\mid 5\mid 1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden.

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code.

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten eines passenden Punktes $L$.

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Dabei betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

a) Eine Fahrschulkette rechnet am Standort Düsseldorf für 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$E1$: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

$E2$: „Es werden mindestens 80 % der praktischen Prüfungen bestanden.“

$E3$: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

(2)

Im Weiteren sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \le k \le 250$.

(i)

Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge k)$ dafür, dass mindestens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii)

Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit verhält, wenn man den Wert von $k$ variiert.

(iii)

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll höchstens 60 % betragen. Ermitteln Sie, welchen kleinsten Wert $k$ dafür annehmen muss.

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Dabei betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

b) Für 2022 beabsichtigt die Fahrschulkette, in Soest eine neue Filiale zu eröffnen. Die Zentrale fordert hinsichtlich der Ausbildungsqualität, dass durchschnittlich mindestens $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest erwartet man im Jahr 2022 insgesamt $200$ abgelegte praktische Prüfungen. Sollten davon mindestens $140$ bestanden werden, geht die Zentrale davon aus, dass in Soest dank der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden wird. Modellhaft wird angenommen, dass die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter diesen $200$ erwarteten Prüfungen binomialverteilt ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit jeder Prüfung nur $65\,\%$ beträgt.

(2)

In der Abbildung ist das Histogramm zu $P_{200; 0{,}7}(Y = k)$ dargestellt, d. h. für den Fall $p = 0{,}7$.

Werden in Soest von den $200$ erwarteten praktischen Prüfungen z. B. nur $130$ bestanden, schließt die Zentrale daraus, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $70\,\%$ bestanden wird.

Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb der Zentrale mit dieser Einschätzung ein Irrtum unterlaufen sein könnte.

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke oder unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität steht eine Längeneinheit für einen Dezimeter.

a)

Begründen Sie, weshalb die obere Randlinie symmetrisch bezüglich der $y$-Achse verläuft. [1 Punkt]

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke oder unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität steht eine Längeneinheit für einen Dezimeter.

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Höhe als auch die Länge der Brücke (vgl. Abbildung). [Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.] [5 Punkte]

c)

Geben Sie an, was der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang bedeutet, und bestimmen Sie seinen Wert. [2 Punkte]

d)

Bestimmen Sie die größte Steigung, die man beim Überqueren der Brücke bewältigen muss. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke oder unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität steht eine Längeneinheit für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a\cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

e)

In der Abbildung wird die Länge einer der zwei Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ angegeben. Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem $s = 0{,}1\text{ dm}$ ist. [3 Punkte]

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ zur Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke oder unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität steht eine Längeneinheit für einen Dezimeter.

g)

Für die Brücke gilt $a = 1{,}25$. Die drei Bauteile der Brücke bestehen aus massivem Holz. Ein Volumen von $1\text{ dm}^3$ dieses Holzes wiegt $800\text{ Gramm}$. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

Bestimmen Sie die Nullstellen von $q_{1{,}25}$ und ermitteln Sie die Masse, die das mittlere Bauteil hat. [5 Punkte]