Aufgabe B5 - Parameter und Modellierung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke oder unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität steht eine Längeneinheit für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a\cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

e)

In der Abbildung wird die Länge einer der zwei Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ angegeben. Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem $s = 0{,}1\text{ dm}$ ist. [3 Punkte]

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ zur Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind. [2 Punkte]