Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Dabei betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

b) Für 2022 beabsichtigt die Fahrschulkette, in Soest eine neue Filiale zu eröffnen. Die Zentrale fordert hinsichtlich der Ausbildungsqualität, dass durchschnittlich mindestens $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest erwartet man im Jahr 2022 insgesamt $200$ abgelegte praktische Prüfungen. Sollten davon mindestens $140$ bestanden werden, geht die Zentrale davon aus, dass in Soest dank der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden wird. Modellhaft wird angenommen, dass die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter diesen $200$ erwarteten Prüfungen binomialverteilt ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit jeder Prüfung nur $65\,\%$ beträgt.

(2)

In der Abbildung ist das Histogramm zu $P_{200; 0{,}7}(Y = k)$ dargestellt, d. h. für den Fall $p = 0{,}7$.

Werden in Soest von den $200$ erwarteten praktischen Prüfungen z. B. nur $130$ bestanden, schließt die Zentrale daraus, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $70\,\%$ bestanden wird.

Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb der Zentrale mit dieser Einschätzung ein Irrtum unterlaufen sein könnte.