Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit

$$f(x)=2x^3+8x,\ x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x,\ x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1) Geben Sie für eine der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit Begründung an, welchen der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ man ihr zuordnen kann.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit

$$f(x)=2x^3+8x,\ x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x,\ x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2) Berechnen Sie das Integral $\int_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$ und geben Sie dessen Wert an.

Die Funktion $f$ wird für einen Parameter $a \in \mathbb{R}$ durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie den Wert des Parameters $a$, indem Sie die Nullstellen von $f$ verwenden, die Sie in der Abbildung ablesen können.

$a =$

Die Funktion $f$ wird für einen Parameter $a \in \mathbb{R}$ durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

$F$ bezeichnet jene Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x^2-4x$, die $F(3)=1$ erfüllt.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion $F$.

$F(x) =$

Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ hat der Graph ein lokales Extremum.

(ii) $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

(iii) Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Gewählt wird folgender Ansatz:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \quad f'(x)=3ax^2+2bx+c \quad \text{und} \quad f''(x)=6ax+2b.$$Den Funktionsterm von $f$ erhält man über dieses Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} d &= 4 \\ 64a + 16b + 4c + d &= 0 \\ 12a + 4b + c &= 0 \\ 2b &= 0 \end{aligned}$$Begründen Sie unter Verwendung der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Aussagen zu $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1)

Bei der Zufallsgröße $X$ stimmen der Erwartungswert und die Standardabweichung überein.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch $P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Die Zufallsgröße $X$ kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

wahr

falsch

Für ein Glücksspiel stehen die beiden abgebildeten Urnen bereit, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

Im Spiel werden insgesamt genau zwei Kugeln gezogen, und zwar nach diesen Regeln:

Als Erstes wird aus Urne A zufällig eine Kugel entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, so wird danach zufällig eine Kugel aus Urne B gezogen.

Ist die zuerst gezogene Kugel aus Urne A dagegen weiß, so wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, $0{,}7$ beträgt.

Für ein Glücksspiel stehen die beiden abgebildeten Urnen bereit, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

Im Spiel werden insgesamt genau zwei Kugeln gezogen, und zwar nach diesen Regeln:

Als Erstes wird aus Urne A zufällig eine Kugel entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, so wird danach zufällig eine Kugel aus Urne B gezogen.

Ist die zuerst gezogene Kugel aus Urne A dagegen weiß, so wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(2)

Man spielt das Spiel insgesamt $10$-mal.

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass bei mindestens $9$ der Spiele jeweils genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 zu sehen.

Im weiteren Verlauf können Sie ohne Nachweis folgende Aussage verwenden:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

a)

(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten sowie die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

(2)

Die Funktion $f$ hat im Intervall $[0{,}5; 2]$ eine Nullstelle. Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ in dieser Nullstelle nicht die größte Steigung besitzt.

c)

In Abbildung 3 sieht man neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie dabei sämtliche Zahlen der Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0{,}22x - 0{,}186$ ist eine Gleichung von $g$, bei der die Zahlen auf weniger Nachkommastellen gerundet sind.]

(3)

Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Länge nach oben verschoben, erhält man den Graphen einer Funktion $k$, an den $g$ ebenfalls tangential verläuft. In Abbildung 4 werden die Graphen von $f$ und $k$ zusammen mit der gemeinsamen Tangente $g$ gezeigt.

(i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist. Zeichnen Sie diese Tangente in die Abbildung 4 ein.

(ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von Punkt $Q$ und runden Sie auf vier Nachkommastellen.

[Zur Kontrolle: Für die $x$-Koordinate von $Q$ gilt $x_Q \approx 0{,}59$.]

(iii)

Ermitteln Sie, mit welcher Verschiebung der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung für die Funktion $k$ an.

[Hinweis: Den Funktionsterm müssen Sie nicht vereinfachen.]

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 zu sehen.

Im weiteren Verlauf können Sie ohne Nachweis folgende Aussage verwenden:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

b)

(1)

Zeigen Sie, dass $F$ mit der Gleichung $$F(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + 0,4x$$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

(3)

Betrachtet wird die Gleichung $$\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0.$$ Ihre beiden Lösungen $b_1$ und $b_2$ sind in Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b veranschaulicht.

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, warum $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

c)

(2)

Zwischen dem Graphen von $f$ und der Tangente $g$ liegt eine eingeschlossene Fläche.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

(ii)

Bestimmen Sie den prozentualen Anteil dieser Fläche, der oberhalb der $x$-Achse liegt.

%

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen, legt allein die Königin.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über das Jahr hinweg genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t=232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der ganzen Aufgabe müssen Ergebnisse nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April ($t=50$) ist.

Bienen/Tag

a) (2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten zunimmt bzw. am stärksten abnimmt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch, welche Koordinaten der absolute Hochpunkt des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ besitzt, und interpretieren Sie diese Werte im Sachzusammenhang.

b) (1)

Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum die Bienen Gefahr laufen zu schwärmen (Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag).

Aufgabe B2 - Integralrechnung

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen, legt allein die Königin.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über das Jahr hinweg genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t=232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der ganzen Aufgabe müssen Ergebnisse nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (4)

Das Integral $\displaystyle\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ beschreibt, wie viele Bienen am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht nötig.] Ermitteln Sie diese Anzahl rechnerisch.

a) (5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t=0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t=232$).

b) (2)

Die Gleichung $\displaystyle\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x = 30000$ besitzt im Beobachtungszeitraum die Lösungen $t_1 \approx 47$ und $t_2 \approx 104$. Außerdem gilt für $47 \le t \le 104$: $\displaystyle\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x \ge 30000$.

Erläutern Sie, was das Integral im Sachzusammenhang bedeutet. Interpretieren Sie die in Teilaufgabe b) (2) angegebenen Informationen im Zusammenhang der Teilaufgabe b).

c) (1)

Begründen Sie, dass sich im Bereich $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag") durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

c) (2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Bienenanzahl erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

c) (3)

Bis zum Ende des 7. April ($t=35$) sind schon 240 Bienen gestorben. Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t=216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t=181$) geschlüpft sind.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfacht als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im verwendeten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht wiedergibt.

(1) Bestimmen Sie für die Ebene $E_{JKL}$ eine Gleichung in Parameterform.

[Mögliche Lösung: $E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r,s \in \mathbb{R}$]

c)

Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen mit den Richtungsvektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgesendet.

(1) Zeigen Sie, dass diese Laserstrahlen zur Ebene $E_{JKL}$ parallel sind.

(3) Für $a = 1$ folgt ein von $H$ ausgehender Laserstrahl der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}, t > 0.$$

Berechnen Sie den Punkt, in dem die Gerade $h$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet, und interpretieren Sie dessen Lage im Sachzusammenhang.

d)

Ein Laserstrahl geht vom Punkt $G$ aus und folgt der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Der Laserstrahl von $H$ mit Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ steht (dazugehöriger Wert $a = 5$).

(2) Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden zueinander senkrechten Laserstrahlen einen Schnittpunkt im Inneren des Kinosaals haben.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfacht als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im verwendeten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an.

b)(2)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist.

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, gestrahlt.

c)(2)

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a$, für den der Laserstrahl mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

Ausgehend vom Punkt $G$ verläuft ein Laserstrahl auf der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ steht.

d)(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung den dazu passenden Wert von $a$.

E-Scooter (Elektro-Roller) werden in Deutschland immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Erste Untersuchungen zeigen, dass ein Leih-E-Scooter durchschnittlich nur 30 Tage genutzt wird, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

a) (1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen E-Scooter werden privat genutzt. Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

a) (2)

Bei einem anderen Hersteller liegt die mittlere Nutzungsdauer seiner E-Scooter bei 120 Tagen. Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die gelegentlich einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Vereinfachend sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

b) E-Scooter fährt man vor allem in Großstädten. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. In dieser Stadt werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

b) (1)

Mit dem folgenden unvollständigen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang der oben beschriebenen Stichprobe bestimmt:

$$P(X = \_\_) = \_\_\_\_\_ \cdot 0{,}1^{15} \cdot \_\_\_\_\_$$

b) (2) (i)

b) (2) (ii)

b) (2) (iii)

c) In einer anderen deutschen Großstadt liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit nur bei 6 %. Ein E-Scooter-Hersteller will $p$ mit einer gezielten Werbekampagne steigern. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig gewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen wertet die Kampagne als erfolgreich, wenn unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

c) (1)

c) (2)

Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$$(1-p)^{50} + 50 \cdot p \cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$$

c) (3)

Wird der Körper sportlich belastet, bildet sich in den Muskeln Laktat (Milchsäure). Ein Laktattest misst die Laktatwerte im Blut und gibt so Aufschluss über den Trainingszustand eines Sportlers. Beim Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit $$f(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2+x-19\right)\cdot e^{0{,}11x}+1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x=0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert zu Beginn und zum Ende des Laktatstufentests.

(2)

Weisen Sie nach, dass die 1. Ableitung von $f$ lautet: $$f'(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}0011x^2+0{,}09x-1{,}09\right)\cdot e^{0{,}11x}.$$

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert minimal ist, und geben Sie diesen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$.

[Kontrolllösung: $g: y=0{,}1846x+1{,}11$.]

(2)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren A die IAS erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes $K$ auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y=-0{,}0109x+1{,}11$.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$]

(2)

Die mit diesem Verfahren ermittelte IAS wird nach 35,64 Minuten erreicht.

Ermitteln Sie die Entfernung zwischen dem dazugehörigen Punkt $K$ und $T$.