Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Nachtermin · GTR

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$\begin{aligned}f(x) &= (1-x^2)\cdot e^{x+1},\quad x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= (1+x^2)\cdot e^{x+1},\quad x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= (1-x^2)\cdot e^{-x^2},\quad x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$In Abbildung 1 sind die Graphen von $f$, $g$ und $h$ abgebildet.

(1) Geben Sie für zwei der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ jeweils mit Begründung an, welchen der Graphen A, B bzw. C man der jeweiligen Funktion zuordnen kann.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$\begin{aligned}f(x) &= (1-x^2)\cdot e^{x+1},\quad x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= (1+x^2)\cdot e^{x+1},\quad x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= (1-x^2)\cdot e^{-x^2},\quad x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$In Abbildung 1 sind die Graphen von $f$, $g$ und $h$ abgebildet.

(2)

Berechnen Sie $h'(-1)$.

Zu jedem Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ wird eine Funktion $f_a$ durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f_a(x) = x^2 + (1-2a)\cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle besitzt.

(2)

Bestimmen Sie den Parameterwert $a$ so, dass $f_a$ zusätzlich an der Stelle $x = -2$ eine Nullstelle hat.

$a =$

Zu jedem Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ wird eine Funktion $f_a$ durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f_a(x) = x^2 + (1-2a)\cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

(3)

In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f_0$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können aus der Abbildung entnommen werden.

$A =$

FE

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind die folgenden Angaben bekannt:

An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

Der Punkt $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt.

$x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum die gesuchte Funktion mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Verwendet wird dieser Ansatz:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ und $f''(x) = 6ax + 2b$.

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie unter Verwendung der Informationen (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(3)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems. [1 + 2 + 2 Punkte]

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2+4\cdot x},\; x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Es ist bekannt, dass $f(2-a) = e^{-a^2+4}$ für jedes $a \in \mathbb{R}$ gilt.

Weisen Sie nach, dass für jedes $a \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(2+a) = f(2-a)$ erfüllt ist.

(2)

Interpretieren Sie, was die Gleichung $f(2-a) = f(2+a)$ geometrisch für den Verlauf des Graphen von $f$ bedeutet.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2+4\cdot x},\; x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $P(4|1)$.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(4|1)$ berührt.

Betrachtet werden die Geradenschar $g_a$ sowie die Ebene $E$ mit den folgenden Gleichungen:$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \quad \text{und}$$$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie $a$ so, dass die Gerade $g_a$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht.

(2)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(3)

Geben Sie ein $a$ an, für das die Gerade $g_a$ vollständig in der Ebene $E$ liegt.

Gegeben sind die Punkte $A(-2|1|2)$, $B(-1|1|p)$ und $C(1|p|q)$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Der Parameter $p$ ist so zu wählen, dass die Gerade, die durch $A$ und $B$ verläuft, parallel zu einer der Koordinatenachsen ist.

Geben Sie den dazu passenden Wert von $p$ an und nennen Sie die Koordinatenachse, zu der die Gerade parallel ist.

(2)

Alternativ zu (1) lässt sich $p$ auch so wählen, dass der Punkt $C$ bei passendem $q$ auf der Geraden durch $A$ und $B$ liegt.

Bestimmen Sie die Werte von $p$ und $q$, für die diese Bedingung erfüllt ist.

Für ein Spiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach den folgenden Regeln insgesamt zwei Kugeln gezogen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der nachstehenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Für die Zufallsgröße $X$ stimmen Erwartungswert und Standardabweichung überein.

wahr

falsch

(2)

Mit dem Ansatz $$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^2$$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge berechnen.

wahr

falsch

(3)

Es gilt $P(X = 0) = P(X = 1)$.

wahr

falsch

Für ein Spiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach den folgenden Regeln insgesamt zwei Kugeln gezogen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel genau eine schwarze Kugel mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}7$ gezogen wird.

(2)

Das Spiel wird mehrfach wiederholt.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis $E$ an, das $$P(E) = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2$$ erfüllt.

(3)

In Urne $B$ wird die Zahl der schwarzen Kugeln geändert. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit, bei einmaliger Durchführung des Spiels genau eine schwarze Kugel zu ziehen, von $0{,}7$ auf $0{,}5$.

Ermitteln Sie, wie viele schwarze Kugeln sich nun in Urne $B$ befinden.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit der Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a \cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und für $a = -1$.

a)

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ der jeweilige Graph zuzuordnen ist.

[1 Punkt]

Graph I:

Graph II:

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit der Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a \cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und für $a = -1$.

Teilaufgabe b

b) (1)

Zeigen Sie: $f_a'(x) = 2ae^{ax} \cdot (1 + ax)$.

Im weiteren Verlauf dürfen Sie ohne Beweis die zweite Ableitung von $f_a$ verwenden: $f_a''(x) = 2a^2 \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax)$.

b) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, die lokalen Extremstellen von $f_a$ sowie deren Art.

b) (3)

Es existieren zwei reelle Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, mit dem Abstand 1 zueinander, für die der Graph der Funktion $f_{0{,}5}$ in den Punkten $(s \mid f_{0{,}5}(s))$ und $(t \mid f_{0{,}5}(t))$ dieselbe Steigung besitzt.

Bestimmen Sie $s$ und $t$ gerundet auf zwei Nachkommastellen und geben Sie die Steigung des Graphen von $f_{0{,}5}$ an diesen Stellen an.

Teilaufgabe d

Für jedes $a \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$.

[Hinweis: Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

Mit $d_a$ wird die Entfernung des Wendepunktes $W_a$ zum Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der $y$-Achse bezeichnet.

d) (1)

Berechnen Sie einen Wert für den Parameter $a$, bei dem $d_a = 5$ gilt.

d) (2)(i)

Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes verändert, wenn $a$ größer wird.

d) (2)(ii)

Für $a > 0$ nähert sich der Abstand $d_a$ einem festen Wert, wenn $a$ immer größer wird. Geben Sie diesen Wert an.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Der Graph der Funktion $t_{-2}$ ist die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}$ und wird Wendetangente genannt.

d) (3)

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung für die Funktion $t_{-2}$.

Teilaufgabe e

Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ die gleiche Steigung haben.

In Abbildung 3 sind die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$ dargestellt.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$.

Der Graph von $k$ geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem dieser nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschoben wird.

e)

Ermitteln Sie rechnerisch, mit welchen Verschiebungen aus dem Graphen von $f_1$ der Graph von $k$ hervorgeht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm von $k$ muss nicht vereinfacht werden.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit der Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a \cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und für $a = -1$.

Teilaufgabe c

c) (1)

Zeigen Sie, dass die Funktion $F_{-2}$ mit der Gleichung

$$F_{-2}(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + x$$

eine Stammfunktion von $f_{-2}$ darstellt.

c) (2)

Im Intervall $[0;1]$ schneidet der Graph von $f_{-2}$ die $x$-Achse nicht.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der im Intervall $[0;1]$ vom Graphen von $f_{-2}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

Teilaufgabe d (4)

In Abbildung 2 sind der Graph von $f_{-2}$ sowie die Wendetangente $t_{-2}$ dargestellt.

Die Graphen von $f_{-2}$ und $t_{-2}$ haben ausschließlich den Wendepunkt gemeinsam.

d) (4)

Betrachtet wird die Gleichung

$$\int_{z}^{z+2} \big(f_{-2}(x) - t_{-2}(x)\big)\,\mathrm{d}x = 0.$$

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2 und ohne zusätzliche Rechnung, dass genau ein Wert von $z$ diese Gleichung erfüllt.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Für die gesamte Aufgabe gilt: Zeitangaben müssen nicht in Kalenderdaten umgerechnet werden!

a) (1)

Geben Sie die Zuwachsrate zum Ende des 22. April ($t = 50$) an.

b) (1)

Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum die Gefahr eines Schwärmens der Bienen besteht.

von $t_1 \approx$ bis $t_2 \approx$

c) (1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

d) (1)

Geben Sie die erforderlichen Vorzeichen der Parameter $a$ und $b$ an und begründen Sie, dass die Funktion $h$ bei dieser Vorzeichenwahl alle oben genannten Anforderungen erfüllt.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Bei dieser Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten zunimmt bzw. am stärksten abnimmt.

a) (3)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$ und interpretieren Sie diese Werte anschließend im Sachzusammenhang.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a)(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Eine Begründung ist nicht nötig.]

Ermitteln Sie diese Zahl rechnerisch.

a)(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Zeitraum vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$) im Mittel pro Tag schlüpfen.

b)(2)

Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der sich Anfang und Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B berechnen lassen.

Zeigen Sie, dass die Schwarmzeit nach Ansatz B von $t_1 \approx 47$ bis $t_2 \approx 104$ reicht.

c)(3)

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

c) (2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 einen Näherungswert für den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Anzahl an Bienen erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

d) (2)

An der Stelle $t = 216$ soll der Graph von $h$ ohne Knick an den Graphen der Funktion $g$ anschließen.

Geben Sie Gleichungen an, mit deren Hilfe sich die Parameter $a$ und $b$ bestimmen lassen.

[Hinweis: Eine Berechnung der Parameter ist nicht erforderlich.]

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfacht als Quader ABCDEFGH dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

In diesem Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche AEFB angebracht.

b) Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in der Ebene $E_{JKL}$, die in vereinfachter Form die Anordnung der Kinositze beschreibt.

(1)

Begründen Sie, dass

$$E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}$$

eine Parameterdarstellung der Ebene $E_{JKL}$ ist.

(2)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung in Koordinatenform für die Ebene $E_{JKL}$. [Mögliche Lösung: $E_{JKL}: 2x_2 - 6x_3 = 10$]

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

c) Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ 3b \\ b \end{pmatrix}$, mit $a, b \in \mathbb{R}, a \ge 0, b \le 0$, gestrahlt.

(1)

Zeigen Sie, dass alle Laserstrahlen, die diese Bedingung erfüllen, in der Ebene $E_{\text{Laser}}: x_2 - 3x_3 = -4$ liegen.

(2)

Begründen Sie, dass $E_{JKL}$ und $E_{\text{Laser}}$ zueinander parallel, aber nicht identisch sind.

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfacht als Quader ABCDEFGH dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

In diesem Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche AEFB angebracht.

a)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $F$ besitzt. [1 Punkt]

b)(3)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist. [1 Punkt]

c)(3)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie weit die Ebene $E_{JKL}$ von der Ebene $E_{\text{Laser}}$ entfernt ist. [3 Punkte]

c)(4)

Es werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, ausgesendet.

Bestimmen Sie rechnerisch, für welchen Wert von $a$ ein Laserstrahl entsteht, der mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt. [4 Punkte]

d)(1)

Ausgehend vom Punkt $G$ werden Laserstrahlen längs der Geraden $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} k - 15 \\ -23 \\ \sqrt{4 - k^2} - 4 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R}$ mit $-2 \le k \le 2$, ausgesendet.

Diese Strahlen erreichen die Wandfläche $AEFB$ mit $E_{AEFB}: x_2 = 0$.

Bestimmen Sie die von $k$ abhängigen Koordinaten der Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Wandfläche $AEFB$ treffen, und zeigen Sie, dass die Punkte $S_k$ vom Punkt $M(5|0|5)$ stets einen von $k$ unabhängigen Abstand haben. [4 Punkte]

d)(2)

Für $-2 \le k \le 2$ bilden die Auftreffpunkte $S_k$ der Laserstrahlen auf der Leinwand eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass diese ein nach unten geöffneter Halbkreis ist. [3 Punkte]

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen im Mittel 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Weiteren angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Teilaufgabe a)

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Untersuchungen zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Benutzung, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Leihfirmen; die übrigen E-Scooter werden von privaten Haushalten verwendet.

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers liegt die mittlere Nutzungsdauer bei 120 Tagen.

Teilaufgabe b)

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Vereinfachend sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

(2)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$ dargestellt.

(3)

Vier Studierende führen die Befragung durch. Dafür wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen mit je 50 Personen eingeteilt.

Teilaufgabe c)

Ein E-Scooter-Hersteller lässt in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen, um bekannter zu werden und mehr Menschen zur Nutzung zu bewegen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt zusammen 20 Gutscheine, die folgendermaßen verteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel. Sämtliche Zettel werden in eine Lostrommel gegeben, aus der 20-mal mit Zurücklegen gezogen wird. Wer jeweils gezogen wird, erhält einen Gutschein.

Bei diesem Verfahren kann also jeder Freund keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“

Nur einer der folgenden Ansätze eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$.

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen im Mittel 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Weiteren angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

d) Die in c) dargestellte Werbekampagne wird auch in einer weiteren deutschen Großstadt umgesetzt. Dort liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit bei nur $6\,\%$. Nach der Kampagne wird eine Umfrage unter $150$ zufällig ausgewählten Personen dieser Stadt durchgeführt, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit, dass man irrtümlich eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und somit einen Erfolg der Kampagne annimmt, darf höchstens $5\,\%$ betragen.

Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der $5\,\%$-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie dieses Intervall. [3 Punkte]

Gesuchtes Intervall: [

;

]

(2)

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p > 0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens $20\,\%$.

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06 < p \le 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen. [3 Punkte]

$p =$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Wenn Muskeln körperlich beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man die Laktatwerte im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Bei einem Laktatstufentest erhöht der Sportler in gleichmäßigen Zeitabständen seine Belastung, zum Beispiel auf einem Fahrrad-Ergometer.

Den Laktatwert eines bestimmten Sportlers während eines Laktatstufentests (im Folgenden kurz Laktatwert genannt) beschreibt man für $0 \leq x \leq 45$ mithilfe der Funktion $f$ mit

$$f(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2+x-19\right)\cdot e^{0{,}11x}+1{,}3,\quad x\in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Minuten und $f(x)$ für den Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Zum Zeitpunkt $x=0$ beginnt der Laktatstufentest, er läuft 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 auf der folgenden Seite dargestellt.

a) (1)

Ermitteln Sie die Laktatwerte zu Beginn und zum Abschluss des Laktatstufentests.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Wenn Muskeln körperlich beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man die Laktatwerte im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Bei einem Laktatstufentest erhöht der Sportler in gleichmäßigen Zeitabständen seine Belastung, zum Beispiel auf einem Fahrrad-Ergometer.

Den Laktatwert eines bestimmten Sportlers während eines Laktatstufentests (im Folgenden kurz Laktatwert genannt) beschreibt man für $0 \leq x \leq 45$ mithilfe der Funktion $f$ mit

$$f(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2+x-19\right)\cdot e^{0{,}11x}+1{,}3,\quad x\in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Minuten und $f(x)$ für den Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Zum Zeitpunkt $x=0$ beginnt der Laktatstufentest, er läuft 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 auf der folgenden Seite dargestellt.

a)

(2) Weisen Sie die folgende Aussage nach:

Für die 1. Ableitung von $f$ gilt $f'(x) = \frac{1}{100}(-0{,}0011x^2 + 0{,}09x - 1{,}09)\cdot e^{0{,}11x}$.

(3) Ermitteln Sie, wie groß die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach Beginn ist.

(4) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert sein Minimum annimmt, und geben Sie diesen minimalen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0\mid f(0))$ und $E(45\mid f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

b)

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente.

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren A die IAS erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 2).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente in $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ beider Tangenten, auf zwei Nachkommastellen gerundet. [Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6\mid 0{,}7)$.]

(2) Bestimmen Sie eine Zielfunktion, die den Abstand eines Punktes des Graphen von $f$ zum Punkt $T$ beschreibt, und ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren B die IAS erreicht wird.