Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke oder unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität steht eine Längeneinheit für einen Dezimeter.

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Höhe als auch die Länge der Brücke (vgl. Abbildung). [Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.] [5 Punkte]

c)

Geben Sie an, was der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang bedeutet, und bestimmen Sie seinen Wert. [2 Punkte]

d)

Bestimmen Sie die größte Steigung, die man beim Überqueren der Brücke bewältigen muss. [2 Punkte]