Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Teil A · Stochastik

In einer Region beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person Heuschnupfen hat, 15 %. Ein Allergietest ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt 2 %.

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Bei einer zufällig ausgewählten Person wird der Allergietest durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keinen Heuschnupfen hat, der Test aber positiv ist. [2 BE]

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Deuten Sie den Term $$\frac{0{,}15 \cdot 0{,}9}{0{,}15 \cdot 0{,}9 + 0{,}85 \cdot 0{,}02}$$ im Sachzusammenhang. [3 BE]

In einer Region beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person Heuschnupfen hat, 15 %. Ein Allergietest ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt 2 %.

a

Die beiden Würfel werden einmal geworfen. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt. [2 BE]

b

Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine „6“ auftritt. Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zeigt. [3 BE]

1 Aufgabe

a

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{4}$. Vervollständigen Sie die folgende Gleichung zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit:

$P(X =$

$) = \left( \begin{matrix}

\\ 3 \end{matrix} \right) \cdot \left(

$)^2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^3$

b

Die Abbildung zeigt die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$.

Gegeben sind die Wahrscheinlichkeitswerte $P(Y \le 15) \approx 0{,}78$ und $P(Y = 12) \approx 0{,}13$. Berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(Y = 14)$.