Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \sin x$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie die Tangenten an $G_f$ in den dargestellten Schnittpunkten mit der x-Achse.

a

Zeigen Sie, dass diejenige der beiden Tangenten, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung 1 hat. [1 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \sin x$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie die Tangenten an $G_f$ in den dargestellten Schnittpunkten mit der x-Achse.

b

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von $G_f$ und den beiden Tangenten eingeschlossen wird. [4 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \sin x$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie die Tangenten an $G_f$ in den dargestellten Schnittpunkten mit der x-Achse.

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$.

a

Zeigen Sie, dass $f'(x) = 2x \cdot (2x^2 - k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist. [1 BE]

b

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $-1$. Ermitteln Sie den Wert von $k$. [4 BE]

Die Verbreitung eines Computervirus lässt sich modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 2 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t}$ beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen, die seit der ersten Infizierung eines Computers mit dem Virus vergangen ist, und $f(t)$ die Rate der Infizierungen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Eintausend Computer pro Tag“.

a

Zeigen Sie, dass $2\cdot\left(1-\frac{1}{100}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist. [2 BE]

b

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Rate der Infizierungen am größten ist. [1 BE]

Die Verbreitung eines Computervirus lässt sich modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 2 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t}$ beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen, die seit der ersten Infizierung eines Computers mit dem Virus vergangen ist, und $f(t)$ die Rate der Infizierungen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Eintausend Computer pro Tag“.

c

Betrachtet wird der Zeitraum der zweiten Woche nach der ersten Infizierung eines Computers mit dem Virus. Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der Computer berechnet werden kann, die in diesem Zeitraum infiziert werden. [2 BE]

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$. Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse, der Graph von $g$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt $(2|1)$.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$. Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse, der Graph von $g$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt $(2|1)$.

a

Geben Sie für die Graphen von $f$ und $g$ jeweils die Koordinaten und die Art eines weiteren Extrempunkts an.

b

Untersuchen Sie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = f(x) \cdot (g(x))^3$ im Hinblick auf eine mögliche Symmetrie ihres Graphen.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$. Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse, der Graph von $g$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt $(2|1)$.

a)

Geben Sie die Steigung der Tangente an $G_f$ im Punkt $(0 \mid f(0))$ an.

b)

Betrachtet wird die Schar der Funktionen $g_c$ mit $c \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $g_c$ geht aus $G_f$ durch Streckung mit dem Faktor $c$ in y-Richtung hervor. Die Tangente an den Graphen von $g_c$ im Punkt $(0 \mid g_c(0))$ schneidet die x-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Schnittpunkts.

$x =$