Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Haupttermin · GTR

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-k\cdot x^2$, wobei $k$ eine positive reelle Zahl bezeichnet. Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die erste Ableitungsfunktion von $f$ durch $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ beschrieben wird.

(2)

Beide Tiefpunkte des Graphen von $f$ besitzen die $y$-Koordinate $-1$.

Ermitteln Sie den Wert von $k$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15$, $x \in \mathbb{R}$. $F$ bezeichnet eine Stammfunktion von $f$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Interpretieren Sie die Aussage $F(5) - F(1) = 0$ im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f$. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$. [3 Punkte]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2+2x)\cdot e^{-x+4}$ und $x\in\mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Es ist bekannt, dass $f$ genau zwei Extremstellen hat.

Ermitteln Sie beide Extremstellen der Funktion $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 3.

Hinweis: Auf die genauen y-Werte kommt es dabei nicht an.

[3 + 2 Punkte]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

d) Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung$$f_a(x) = \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$eine Funktion $f_a$ gegeben.

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für $a = 0$.

(1)

Genau für einen Wert von $a$ hat die Funktion $f_a$ lediglich eine einzige Nullstelle. Ermitteln Sie diesen Wert von $a$.

$a =$

(2)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die der Punkt $P(3 \mid 90e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

e) Betrachtet werden die Ebene $E: x_1 - x_2 + x_3 - 3 = 0$ und für $a \in \mathbb{R}$ die Gerade

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem die Gerade $g_a$ auf $E$ senkrecht steht.

$a =$

(2)

Untersuchen Sie, ob ein Wert von $a$ existiert, bei dem die Gerade $g_a$ vollständig in $E$ verläuft.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

f) Betrachtet werden die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

(1)

Begründen Sie, warum die Gerade, die durch $A$ und $B$ führt, parallel zur $x_2$-Achse liegt.

(2)

Ein Punkt $C$ befindet sich auf der $x_2$-Achse. Dabei verläuft die Gerade durch $A$ und $C$ senkrecht zu der Geraden durch $B$ und $C$.

Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte, auf die die genannten Bedingungen für $C$ zutreffen.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

a) Betrachtet wird eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-k\cdot x^2$, dabei ist $k$ eine positive reelle Zahl. Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die erste Ableitungsfunktion von $f$ durch $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ gegeben ist.

(2)

Beide Tiefpunkte des Graphen von $f$ besitzen als y-Koordinate jeweils $-1$. Ermitteln Sie den Wert von $k$.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15$, $x \in \mathbb{R}$. $F$ bezeichnet eine Stammfunktion von $f$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Interpretieren Sie die Gleichung $F(5) - F(1) = 0$ im Hinblick auf den Graphen von $f$.

(2)

Berechnen Sie $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^{-x+4}$ und $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

$f$ hat genau zwei Extremstellen.

Ermitteln Sie die zwei Extremstellen der Funktion $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitung von $f$.

Hinweis: Auf die genauen $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

d) Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung

$$f_a(x) = \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ gegeben.

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $f_a$ für $a = 0$ abgebildet.

(1)

Für genau einen Wert von $a$ hat die Funktion $f_a$ lediglich eine einzige Nullstelle.

Ermitteln Sie diesen Wert von $a$.

$a =$

(2)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die der Punkt $P(3 \mid 90e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

e) $X$ sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n = 100$ und $p$.

Der Erwartungswert von $X$ beträgt 50.

(1)

Berechnen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ liegt bei ungefähr $2\,\%$.

Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

f) Um an einem Gewinnspiel teilzunehmen, muss man 3 Euro Einsatz zahlen. Die Zufallsgröße $A$ gibt die Auszahlung in Euro an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$ ist in Abbildung 5 dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass der Wert von $p$ gleich $\frac{1}{6}$ ist.

(2)

Wird das Spiel oft wiederholt, so gleichen sich auf lange Sicht die Einsätze und die Auszahlungen erwartungsgemäß aus.

Berechnen Sie den Wert von $b$.

(3)

Beschreiben Sie, auf welche Weise das Gewinnspiel mithilfe eines Behälters mit roten, grünen und blauen Kugeln ablaufen könnte.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-k\cdot x^2$, wobei $k$ eine positive reelle Zahl bezeichnet. Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

(1)

Zeigen Sie, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung für die erste Ableitung von $f$ darstellt.

(2)

Jeder der beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ hat die y-Koordinate $-1$.

Ermitteln Sie, welchen Wert $k$ hat.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15$, $x \in \mathbb{R}$. $F$ bezeichnet eine Stammfunktion von $f$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Interpretieren Sie die Gleichung $F(5) - F(1) = 0$ im Hinblick auf den Graphen von $f$. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$. [3 Punkte]

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^{-x+4}$ mit $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

(1)

Die Funktion $f$ weist genau zwei Extremstellen auf.

Ermitteln Sie beide Extremstellen der Funktion $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 3.

Hinweis: Auf die genauen y-Werte kommt es dabei nicht an.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

d) Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung

$$f_a(x) = \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

In Abbildung 4 wird der Graph von $f_a$ für $a = 0$ dargestellt.

(1)

Nur für einen einzigen Wert von $a$ hat die Funktion $f_a$ genau eine Nullstelle. Ermitteln Sie diesen Wert von $a$.

$a =$

(2)

Ermitteln Sie die Werte von $a$, für die der Punkt $P(3 \mid 90e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

e) Gegeben sind die Ebene $E: x_1 - x_2 + x_3 - 3 = 0$ sowie für $a \in \mathbb{R}$ die Gerade$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{mit } s \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem die Gerade $g_a$ auf $E$ senkrecht steht.

(2)

Untersuchen Sie, ob ein Wert von $a$ existiert, bei dem die Gerade $g_a$ vollständig in $E$ verläuft.

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - k \cdot x^2$, wobei für $k$ eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

f) Um an einem Gewinnspiel teilzunehmen, muss man 3 Euro Einsatz zahlen. Die Zufallsgröße $A$ gibt die Auszahlung in Euro an. In Abbildung 5 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass für $p$ der Wert $\frac{1}{6}$ gilt.

(2)

Wird das Spiel oft wiederholt, gleichen sich auf lange Sicht die Einsätze und die Auszahlungen erwartungsgemäß aus. Berechnen Sie den Wert von $b$.

(3)

Beschreiben Sie, wie sich das Gewinnspiel mithilfe eines Behälters und roter, grüner und blauer Kugeln durchführen ließe.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

Teilaufgabe a)

(1)

Begründen Sie, weshalb $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ darstellt.

(2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}$.

(3)

Untersuchen Sie $f$ mithilfe einer Rechnung hinsichtlich lokaler Extremstellen.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ den Graphen von $f$ tangiert.

(2)

Verbindet man die Schnittpunkte der Tangente aus b) (1) mit den beiden Koordinatenachsen, entsteht eine Strecke. Berechnen Sie deren Länge.

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente aus b) (1) und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$.

Teilaufgabe c)

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$. Die $y$-Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

$Q_u(u \mid f(u)),\ 0 < u < 2$, ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

(2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks, wenn $Q_u$ der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse ist.

(3)

Untersuchen Sie, um wie viel Prozent der Wert aus (2) höchstens zunehmen kann, falls $Q_u(u \mid f(u))$ an einer anderen Stelle mit $0 < u < 2$ liegt.

%

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau eine Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Eine mit vier Nachkommastellen angegebene näherungsweise Gleichung für $t_R$ ist $y = x - 0{,}3824$.

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand zwischen der Tangente $t_R$ und der 1. Winkelhalbierenden.

Teilaufgabe e)

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a$, die gegeben ist durch $h_a(x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{-x},\ x \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R}$. Ohne Nachweis kann verwendet werden: $h_a''(x) = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{-x}$. Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a$.

(1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunkts $W_a$.

[Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich.]

(2)

$t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a$. Eine Gleichung für $t_a$ ist $y = -10 \cdot e^{-a-2} \cdot x + 10 \cdot (a + 4) \cdot e^{-a-2}$. Für $a \neq -4$ begrenzt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks her.

[Mögliche Lösung: $A_D(a) = 5 \cdot (a + 4)^2 \cdot e^{-a-2}$]

(3)

Ermitteln Sie einen Wert für $a$, bei dem die Dreiecksfläche $10\ \text{FE}$ beträgt.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 stellt den Graphen von $f$ dar.

b)(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die in b)(1) angegebene Tangente $t$ und die $x$-Achse gemeinsam eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $F$.

c)(1)

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$-Achse und geht durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$. Zusammen mit der $y$-Achse und dem Graphen von $f$ begrenzt $g$ eine Fläche (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \text{ sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3 - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f_1$ mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten seines Extrempunktes.

Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen von $f_1$ ein.

a) (2)

Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ liegt und für welche unterhalb. Begründen Sie Ihre Angabe.

a) (3)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, welche Schlussfolgerung aus I und II für die Anzahl und die Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu denen des Graphen von $f_a$ möglich ist. Begründen Sie Ihre Angabe anhand von I und II.

Teilaufgabe b)

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\,\middle|\,\frac{5}{2a^3}\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\,\middle|\,g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$, sie wird durch die Gleichung $t_{g_a}: y = \frac{5-3a^2}{5a^2}x - \frac{5}{2a^3}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_a$ bezeichnet.

b) (1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $S_a$ unabhängig vom Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt.

b) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $x = \frac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_a}$.

Untersuchen Sie, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ aufeinander senkrecht stehen.

Teilaufgabe c)

Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\text{ m}$ breit.

Die Profillinie wird für $0 \le x \le 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt.

Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\text{ m}$ in der Realität.

c) (1)

Bestimmen Sie in Prozent die maximale Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen.

%

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5\mid 2{,}31)$ und $B(37\mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0$, $c > 0$ beschrieben werden.

c) (2)

Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$. [Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$]

c) (3)

Untersuchen Sie, in welchen Bereichen das Seil senkrecht gemessen mindestens $3\text{ m}$ von der Piste entfernt ist.

Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\text{ m}$ hat.

m

Abbildung 2 stellt schematisch die Profillinie im Längsschnitt einer Skipiste in einer Skihalle dar. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie im Modell durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit entspricht in der Wirklichkeit $10\text{ m}$.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x,\; b > 0,\; c > 0$ beschrieben werden.

Abbildung 3 zeigt die Schneeauflage im unteren Teil der Piste grau markiert; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gedehnt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0$, $c > 0$ beschrieben werden.

(2)

Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$.

[Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$]

$b =$

$c =$

Abbildung 2 stellt schematisch die Profillinie im Längsschnitt einer Skipiste in einer Skihalle dar. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie im Modell durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit entspricht in der Wirklichkeit $10\text{ m}$.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x,\; b > 0,\; c > 0$ beschrieben werden.

Abbildung 3 zeigt die Schneeauflage im unteren Teil der Piste grau markiert; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gedehnt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Pistenabschnitt grau dar; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Für $0 \leq x \leq 5$ wird der Untergrund unter dem Schnee durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, $60\text{ cm}$ hoch liegt.

(4)

Bestimmen Sie das Gesamtvolumen des Schnees, der auf der ganzen Piste liegt.

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern fällt. Dies ist beispielsweise bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden können.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei ermittelt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung gilt im Weiteren, dass der geheime Code, der bestimmt werden soll, stets dreistellig ist.

a)

(1) Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g\!: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer gemeinsamen Ebene $H$. Je ein eingeweihter Mitarbeiter kennt die Koordinaten genau eines dieser drei Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ von $g$ und $H$.

(i)

Die Koordinaten von $A$, $B$ und $C$ werden in das System eingetragen.

Berechnen Sie den geheimen Code des Systems.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Ein vierter Mitarbeiter bekommt den Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis zugewiesen. Der Punkt $D$ liegt ebenfalls in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(2) Das System verarbeitet nicht nur Koordinaten von Ebenenpunkten, sondern auch andere Angaben zur Ebene, etwa die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors von $H$.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Geschäftsführerin gemeinsam mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter bereits den geheimen Code ermitteln kann.

(ii)

Berechnen Sie einen Normalenvektor der Ebene $H$.

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern fällt. Dies ist beispielsweise bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden können.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei ermittelt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung gilt im Weiteren, dass der geheime Code, der bestimmt werden soll, stets dreistellig ist.

b)

In einem anderen Unternehmen besteht der geheime Code aus den ersten drei Ziffern des ungerundeten Dezimalwerts des Volumens einer quadratischen Pyramide. Deren quadratische Grundfläche liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 + 4x_3 = 9$. Die Geschäftsführerin kennt die Spitze der Pyramide mit den Koordinaten $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$. Jeder Mitarbeitende kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten genau eines Eckpunkts der Grundfläche.

Drei Mitarbeitende und die Geschäftsführerin geben ihre Teilgeheimnisse $(1|1|3)$, $(1|6|3)$, $(5|1|6)$ und $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$ ein.

Berechnen Sie den geheimen Code. [5 Punkte]

c)

Bei einem weiteren Unternehmen bilden die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$ den geheimen Code.

Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnis jeweils einen Endpunkt der Basis $\overline{IJ}$, nämlich $I(4|3|2)$ bzw. $J(8|6|-1)$. Ein dritter eingeweihter Mitarbeiter kennt die Spitze $K(6|5|1)$ des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$.

(1)

Zeigen Sie, dass $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code. [2 Punkte]

[Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707.]

(3)

Der Punkt $L(6|4|0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeiter zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.

Einem weiteren Mitarbeiter soll ein Punkt $P$ zugewiesen werden, der ebenso wie $K$ bzw. $L$ mit $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus $I$, $J$ und $P$ soll sich auf die oben beschriebene Weise der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(i)

Beschreiben Sie, wo geeignete Punkte liegen. [2 Punkte]

(ii)

Aus Sicherheitsgründen soll sich $P$ in seinen Koordinaten sowohl von $K$ als auch von $L$ unterscheiden.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $P$. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Koordinaten von $P$ dürfen auch nicht ganzzahlig sein.]

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden in jenem Jahr bestanden.

Betrachtet wird jeweils eine Fahrschule, deren Fahrschüler $n$ praktische Prüfungen ablegen. Die Zufallsgröße $X$ steht im Folgenden für die Anzahl der bestandenen Prüfungen. Vereinfachend soll gelten, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

a)

Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Im Modell gilt: $X$ ist binomialverteilt mit $p = 0{,}7$.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$P(E1) =$

$P(E2) =$

$P(E3) =$

(2)

$P(X \ge 165) =$

$k =$

c)

Eine weitere Fahrschulkette erstellt für ihren Standort Bielefeld eine Prognose für 2021. Danach liegt der Erwartungswert der bestandenen praktischen Fahrprüfungen bei 255, die Standardabweichung beträgt 6,18.

Berechnen Sie für eine dazu passende binomialverteilte Zufallsgröße den Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$.

$n =$

$p =$

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden in jenem Jahr bestanden.

Betrachtet wird jeweils eine Fahrschule, deren Fahrschüler $n$ praktische Prüfungen ablegen. Die Zufallsgröße $X$ steht im Folgenden für die Anzahl der bestandenen Prüfungen. Vereinfachend soll gelten, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

b)

Eine Fahrschulkette will für das Jahr 2022 in Soest eine neue Filiale eröffnen. Im Jahr 2022 sollen dort die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat erheblich in die digitale Ausstattung des Standorts investiert und erwartet deshalb so hohe Ausbildungsstandards, dass im Durchschnitt mehr als 70 % der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Hinweis darauf zu erhalten, ob die Qualität dieser Erwartung gerecht wird, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen beträgt höchstens 70 %“ auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

(1) Erläutern Sie, welchen Fehler die Zentrale durch die Wahl dieser Nullhypothese mit geringer Wahrscheinlichkeit auftreten lassen will.

(2) Die Zentrale rechnet für 2022 mit 200 abgelegten Prüfungen. Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel.

$k =$

(3) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale die Ausbildungsqualität als nicht erwartungsgemäß einstuft, obwohl durch die Qualität jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % bestanden wird.

$P(\text{Fehler 2. Art}) =$

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im verwendeten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

a)

Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Höhe als auch die Länge der Brücke.

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate 2.]

c)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die man beim Überqueren der Brücke bewältigen muss.

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im verwendeten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

b)

Es geht um den Punkt der oberen Randlinie, an dem das mittlere Bauteil in das rechte übergeht.

Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und ihrem rechten Endpunkt liegt. [3 Punkte]

d)

Die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils ist in der Abbildung mit $s$ benannt.

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $a$, für die diese Länge mindestens $0{,}1\text{ dm}$ beträgt. [4 Punkte]

e)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ für die Beschreibung der unteren Randlinie ungeeignet sind. [2 Punkte]

g)

In der Planungsphase der Brückenform standen für die obere Randlinie eine Funktion $g_l$ (linkes Bauteil) und eine Funktion $g_r$ (rechtes Bauteil) zur Auswahl. Auch mit diesen Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, welche der folgenden Eigenschaften für die Funktionen $g_l$ und $g_r$ gelten. [4 Punkte]

(1) $-g_l(x) = g_r(-x)$ für $-2 \le x \le -1$

(2) $g_l(x-1) = g_r(-x+1)$ für $-1 \le x \le 0$

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im verwendeten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

Bei der Brücke beträgt $a = 1{,}25$. Alle drei Bauteile bestehen aus massivem Holz. Ein Volumen von $1\text{ dm}^3$ dieses Holzes wiegt 800 Gramm. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

f)

Ermitteln Sie, wie schwer das mittlere Bauteil ist.