Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

1 Aufgabe

Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch $A(0|0|0)$, $B(10|0|0)$, $C(10|10|0)$, $D(0|10|0)$ und $E(0|10|6)$ dargestellt (vgl. Abbildung). Die Punkte B, D und E liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

a)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $BCE$ rechtwinklig ist, und berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Holzkörpers.

c)

Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck $BCE$ dargestellt wird, einen Winkel ein. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels.

d)

Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt $A$ über die Kante $\overline{BE}$ zum Punkt $C$ verläuft. Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:

$$P(10-10t \mid 10t \mid 6t)$$

$$\vec{PC} \circ \vec{PB} = 0 \iff t = \frac{25}{59}$$

$$2 \cdot |\vec{PC}| \approx 15{,}2$$

Erläutern Sie dieses Vorgehen.

f)

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers $ABCDEF$ größer ist als das Volumen des Körpers $ABCDE$, ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.

1 Aufgabe

Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch $A(0|0|0)$, $B(10|0|0)$, $C(10|10|0)$, $D(0|10|0)$ und $E(0|10|6)$ dargestellt (vgl. Abbildung). Die Punkte B, D und E liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

b)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $L$, in der das Dreieck $BCE$ liegt, in Koordinatenform.

e)

Der Schnittpunkt der Ebene $L$ mit der z-Achse wird mit $F$ bezeichnet.

Zeichnen Sie $F$ sowie die Geraden, in denen $L$ die xz- und die yz-Ebene schneidet, in die Abbildung ein.

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|2|0)$ und $S(1|1|4)$. Die Grundfläche $ABCD$ ist quadratisch.

Die Ebene mit der Gleichung $x_3 = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS$ in den Punkten $E$, $F$, $G$ und $H$ (vgl. Abbildung). Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ wird mit $T$ bezeichnet.

a)

Begründen Sie, dass die Pyramide $ABCDS$ gerade ist, und berechnen Sie den Inhalt ihrer Oberfläche.

b)

Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenfläche $ABS$ gegenüber der Grundfläche $ABCD$.

°

c)

Der Mittelpunkt der Kante $\overline{CD}$ wird mit $M$ bezeichnet. Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{DS}$ gibt, für den das Dreieck $BMP$ rechtwinklig ist.

e)

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide $EFGHT$.

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|2|0)$ und $S(1|1|4)$. Die Grundfläche $ABCD$ ist quadratisch.

Die Ebene mit der Gleichung $x_3 = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS$ in den Punkten $E$, $F$, $G$ und $H$ (vgl. Abbildung). Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ wird mit $T$ bezeichnet.

Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ liefert } \sigma = \frac{1}{4} \text{ und damit } x_1 = 1{,}75 \text{ und } x_2 = 0{,}25.$$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung.