Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (Kolleg)

Die Funktion $f$ wird durch die Gleichung $f(x) = 3x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ mit $x \in \mathbb{R}$ beschrieben.

Für die erste Ableitung von $f$ gilt $f'(x) = (3 - 3x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$.

(1)

Bestimmen Sie $f''(x)$.

(2)

Untersuchen Sie $f$ hinsichtlich ihrer lokalen Extremstellen.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_t$ mit der Funktionsgleichung $$f_t(x) = 4x^2 - 4\cdot t\cdot x + t^2, \quad x \in \mathbb{R}, \ t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion $f_t$ genau eine Nullstelle hat.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_t$ mit der Funktionsgleichung $$f_t(x) = 4x^2 - 4\cdot t\cdot x + t^2, \quad x \in \mathbb{R}, \ t \in \mathbb{R}.$$

(2)

Bestimmen Sie $t$ derart, dass die folgende Gleichung erfüllt ist: $$\int_0^t f_t(x)\,\mathrm{d}x = 9$$

c) Die nebenstehende Abbildung 1 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$.

Einer der Graphen in den nachfolgenden Abbildungen 2.1 bis 2.3 stellt die Funktion $I_2$ mit $I_2(x) = \int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t$ dar.

(1)

Entscheiden Sie begründet, welche der Graphen in den Abbildungen 2.1 bis 2.3 nicht den Graphen von $I_2$ darstellen können.

[Hinweis: Je Graph genügt ein Gegenargument.]

(2)

Skizzieren Sie in derjenigen Abbildung, die den Graphen von $I_2$ zeigt, den Graphen der Funktion $I_6$ mit $I_6(x) = \int_6^x f(t)\,\mathrm{d}t$.

Gegeben sind die Funktionen $f_a$ und $g_a$ durch $f_a(x) = -a \cdot x^2 + 4 \cdot a \cdot x$ und $g_a(x) = a \cdot x$, $x \in \mathbb{R}$, $a > 0$.

Zwischen dem Graphen von $f_a$ und der $x$-Achse liegt eine Fläche $E_a$ mit dem Inhalt $\frac{32}{3}a$ FE.

Durch den Graphen von $g_a$ wird die Fläche $E_a$ in zwei Teilflächen zerlegt (vgl. Abbildung 3).

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen miteinander begrenzen.

und

FE

(2)

Zeigen Sie, dass die Fläche aus (1) stets denselben Anteil an der Fläche $E_a$ hat.

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n = 25$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(2)

Bekannt ist: $P_{25;\,0{,}5}(X \le 10) \approx 0{,}2122$.

Ermitteln Sie unter Verwendung dieses Werts die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

f) Betrachtet werden die folgenden mathematischen Ansätze I, II und III:

I $0{,}7^n \le 0{,}3$

II $(1-p)^{12} + 12 \cdot p \cdot (1-p)^{11} \le 0{,}3$

III $0{,}7^{12} + 12 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^{11} + \binom{12}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{10}$

Zwei der drei Ansätze lassen sich jeweils einem der folgenden Arbeitsaufträge A, B bzw. C zuordnen. In allen drei Arbeitsaufträgen geht es um eine binomialverteilte Zufallsgröße. Für einen Ansatz gibt es keinen passenden Arbeitsauftrag, und für einen Arbeitsauftrag gibt es keinen passenden Ansatz.

A Gegeben sind die Parameter $n = 12$ und $p = 0{,}7$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge.

B Gegeben ist der Parameter $p = 0{,}3$. Die Wahrscheinlichkeit, keinen Erfolg zu erzielen, soll maximal $30\,\%$ betragen. Ermitteln Sie die Anzahl der Versuche.

C Gegeben sind die Parameter $n = 12$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge.

(1)

Entscheiden Sie, welche Arbeitsaufträge zu welchen mathematischen Ansätzen passen.

(2)

Geben Sie für den Arbeitsauftrag ohne zugeordneten Ansatz einen passenden mathematischen Ansatz an.

(3)

Geben Sie für den Ansatz ohne zugeordneten Arbeitsauftrag einen passenden Arbeitsauftrag an.

Aufgabenstellung: Sachzusammenhang Hormonkonzentration

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Konzentration im Blut mit der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Blutkonzentration sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \le x \le 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10000x + 208)\cdot e^{-0,1x-5,7} + 7, \quad x \in \mathbb{R},$$

genutzt. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ gehört zur Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot(t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}, \quad t \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}, a \ge 1$$

modelliert. Dabei ist $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ bedeutet 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ zu sehen.

Ohne Beweis darf benutzt werden: $h_a'(t) = -10a\cdot(-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie den Funktionswert $f(3)$ und interpretieren Sie ihn im Kontext der Aufgabe.

a) (2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration größer als $80\text{ pg/ml}$ ist.

Von ca. Jahren bis ca. Jahren

a) (3)

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Tageshöchstkonzentration zwischen dem 20. und dem 40. Lebensjahr.

a) (4)

Ermitteln Sie, bei welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach dem Modell ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an.

[Zur Kontrolle: $x_{\max} \approx 10{,}6$.]

a) (5)

Bestimmen Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration im Modell am stärksten sinkt.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass Null- und Extremstellen nicht vom Parameter $a$ abhängen.

b) (2)

Die globalen Extremstellen von $h_a$ sind identisch mit den lokalen Extremstellen im Intervall $[0;8]$. [Ein Nachweis ist nicht nötig.]

Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen aller Funktionen $h_a$ mit $a \ge 1$ und interpretieren Sie diese im Kontext. Geben Sie die Extremstellen dabei als Uhrzeiten in Stunden und Minuten an.

b) (3)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration um 2:00 Uhr ihr Maximum erreicht.

Aufgabenstellung: Sachzusammenhang Hormonkonzentration

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Konzentration im Blut mit der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Blutkonzentration sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \le x \le 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10000x + 208)\cdot e^{-0,1x-5,7} + 7, \quad x \in \mathbb{R},$$

genutzt. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ gehört zur Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot(t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}, \quad t \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}, a \ge 1$$

modelliert. Dabei ist $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ bedeutet 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ zu sehen.

Ohne Beweis darf benutzt werden: $h_a'(t) = -10a\cdot(-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

Teilaufgabe a (6)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a; b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die mittlere Tageshöchstkonzentration für das Alter von 5 bis 15 Jahren. Ermitteln Sie, wie viel Prozent dieser Wert vom maximalen Wert der Tageshöchstkonzentration abweicht.

a) (6)

%

Teilaufgabe b (4)

Bestimmen Sie $a$ so, dass die Hormonkonzentration in den ersten drei Stunden um $30{,}42\text{ pg/ml}$ ansteigt.

b) (4)

Teilaufgabe c

Nun werden Funktionen $H_{2;C}$ mit $H_{2;C}(t) = 40 \cdot e^{-(0{,}5t-2)^2} + C$, $C \in \mathbb{R}$, untersucht. Diese Funktionen $H_{2;C}$ sind Stammfunktionen zur Funktion $h_2$.

c) (1)

Weisen Sie nach, dass in diesem Modell für jedes $C$ die Hormonkonzentration am Ende des Beobachtungszeitraums ($t = 8$) mit der zu Beginn ($t = 0$) übereinstimmt.

c) (2)

Bestimmen Sie $C$ (auf zwei Nachkommastellen gerundet) so, dass die durch $H_{2;C}$ beschriebene Hormonkonzentration zum Zeitpunkt $t = 6$ den Wert $44{,}7\text{ pg/ml}$ hat. [Kontrolllösung: $C \approx 30$]

c) (3)

Die Tageshöchstkonzentration tritt im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens auf ($0 \le t \le 8$).

Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_k$ gegeben.

Teilaufgabe a

a) (2)

Es gibt mehrere Werte von $k$, für die die Funktion $f_k$ an der Stelle $4$ den Wert $8$ annimmt. Bestimmen Sie diese Werte von $k$.

a) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_k$ und die Art der Extrempunkte in Abhängigkeit von $k$.

a) (4)

Untersuchen Sie rechnerisch, wie sich die Steigung $m_k$ der Tangente an den Graphen von $f_k$ im Wendepunkt verändert, wenn der Wert von $k$ verdoppelt wird.

Teilaufgabe d

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = f_1(x) \cdot e^{-x},\quad x \in \mathbb{R},$$

dargestellt.

Für jede reelle Zahl $u$ mit $u > 0$ und $u \neq 3$ ist durch die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$ gegeben.

d) (1)

Zeichnen Sie das Dreieck $PQ_{1{,}5}R_{1{,}5}$ in die Abbildung 4 ein.

d) (2)

Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ gilt:

$$A(u) = \left(\frac{1}{2}u^4 - 3u^3 + \frac{9}{2}u^2\right)e^{-u}.$$

d) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von $u$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_k$ festgelegt.

c) Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist $p_k$ eine quadratische Funktion mit folgenden Eigenschaften:

$p_k$ und $f_k$ haben dieselben Nullstellen.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p_k$ befindet sich auf dem Graphen von $f_k$.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Gleichung für $p_k$.

[Zur Kontrolle: $p_k(x) = -\frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot k\cdot x$]

Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_k$ festgelegt.

Teilaufgabe b

Abbildung 2 zeigt ein numerisches Verfahren, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_{0}^{3} f_1(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 0{,}781\,\text{FE}$, $A_2 \approx 1{,}781\,\text{FE}$, $A_4 \approx 1{,}344\,\text{FE}$, $A_5 \approx 0{,}656\,\text{FE}$, $A_6 \approx 0{,}156\,\text{FE}$.

b) (1)

Zeigen Sie: $A_3 \approx 1{,}844\,\text{FE}$.

b) (2)

Ermitteln Sie, wie viel Prozent der Näherungswert, den das dargestellte Verfahren für das Integral $\int_{0}^{3} f_1(x)\,\mathrm{d}x$ liefert, vom exakten Wert abweicht.

%

Teilaufgabe c

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist $p_k$ eine quadratische Funktion mit folgenden Eigenschaften:

Die Nullstellen von $p_k$ stimmen mit den Nullstellen von $f_k$ überein.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p_k$ liegt auf dem Graphen von $f_k$.

[Zur Kontrolle: $p_k(x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}k\cdot x$]

c) (2)(i)

Ermitteln Sie $\int_{0}^{3k} (f_k(x) - p_k(x))\,\mathrm{d}x$.

c) (2)(ii)

Über dem Intervall $[0; 3k]$ schließt jeder der Graphen von $f_k$ und $p_k$ mit der $x$-Achse eine Fläche ein.

Interpretieren Sie das Ergebnis aus (i) bezüglich der Größe dieser beiden Flächen.

c) (3)

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$ und $p_1$.

(i) Bestimmen Sie die Größe des Flächeninhalts $A_{\text{links}}$ für die links liegende schraffierte Fläche.

FE

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt die rechte schraffierte Fläche $A_{\text{rechts}}$ hat.

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im nachfolgenden Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Wirklichkeit für einen Meter.

Zwei der Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs sind $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die nachfolgend kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an, die zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören. [1 Punkt]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an. [5 Punkte]

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich anhand der Koordinaten bestimmen.]

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Größen aller Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks $B_1B_2C$. [3 Punkte]

°

°

c)

Eine Kamera ist nördlich des Obelisken und oberhalb von ihm angebracht. Im Modell liegt sie im Punkt $K(0|5|15)$.

Untersuchen Sie, ob die Kamera von der Pyramidenspitze weniger weit entfernt ist als von der nächstgelegenen Kante der Grundfläche der Pyramide. [3 Punkte]

m

m

Der Abstand zur Spitze ist geringer als zur Kante:

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im nachfolgenden Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Wirklichkeit für einen Meter.

Zwei der Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs sind $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die nachfolgend kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

d)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$.

Ermitteln Sie die Koordinatenform einer Gleichung der Ebene $E$. [4 Punkte]

e)

Bei Sonnenstand genau im Süden verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}$, $h \in \mathbb{R}$, $h > 0$. Der Parameter $h$ hängt dabei von der Jahreszeit ab. Der Schattenpunkt der Pyramidenspitze liegt nur dann auf dem Boden, wenn die Sonne nicht zu hoch steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar $g_h$ mit $g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$, $h \in \mathbb{R}$, $h > 0$.

(1)

Ermitteln Sie, für welche $h$-Werte man den Schattenpunkt der Spitze auf dem Boden sehen kann. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Ausdehnung der Plattform bleibt unberücksichtigt.]

(2)

Ermitteln Sie die von $h$ abhängigen Koordinaten eines Punktes $S_h$, an dem der Schatten der Spitze auf der Plattform erscheint. [2 Punkte]

[Hinweis: Eine Einschränkung für $h$, etwa aus (1), braucht nicht beachtet zu werden.]

(3)

Am 22. September 2021 dauern Tag und Nacht gleich lang. Den ganzen Tag über bewegt sich der Schattenpunkt der Spitze geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur $x_1$-Achse.

Zur Mittagszeit steht die Sonne an diesem Tag genau im Süden und befindet sich unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr.

Ermitteln Sie den Wert von $h$, bei dem die Sonne unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr steht, und geben Sie eine Parametergleichung der Geraden an, auf der sich der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 bewegt. [3 + 1 Punkte]

Aufgabenstellung:

Firmen geben viel Geld für Online-Werbung aus und schalten oft eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Sie erscheint passend zu der Suchanfrage einer Nutzerin oder eines Nutzers. Wer die Anzeige anklickt, gelangt zur Webseite des Unternehmens.

Betrachtet werden ausschließlich die Aufrufe der Unternehmenswebseite, die durch eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter zustande kommen. Zur Vereinfachung soll jede Person die Anzeige nur ein einziges Mal sehen.

Eine Anzeige erscheint $n$-mal. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Als Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt ist.

Firma A hat bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige geschaltet, die innerhalb eines Monats 800-mal eingeblendet wurde. Dabei sei $X$ binomialverteilt mit $p=0{,}2$.

a)

(1) (i) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens 180 Webseitenaufrufe.

(1) (ii) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als 170 Webseitenaufrufe.

(2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Anzahl der Webseitenaufrufe um mehr als 5 vom Erwartungswert unterscheidet.

(3) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Einblendungen der Anzeige, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens ein Webseitenaufruf erfolgt.

b)

Der Suchmaschinenanbieter bietet Firma A für 800 eingeblendete Anzeigen zwei Bezahlmodelle an. Bei Option 1 zahlt Firma A $0{,}06\text{ €}$ für jede eingeblendete Anzeige. Bei Option 2 zahlt Firma A ausschließlich für Webseitenaufrufe, wobei der Anbieter dafür jedoch $0{,}28\text{ €}$ pro Webseitenaufruf berechnet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma bei Option 2 geringere Kosten hat.

Aufgabenstellung:

Firmen geben viel Geld für Online-Werbung aus und schalten oft eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Sie erscheint passend zu der Suchanfrage einer Nutzerin oder eines Nutzers. Wer die Anzeige anklickt, gelangt zur Webseite des Unternehmens.

Betrachtet werden ausschließlich die Aufrufe der Unternehmenswebseite, die durch eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter zustande kommen. Zur Vereinfachung soll jede Person die Anzeige nur ein einziges Mal sehen.

Eine Anzeige erscheint $n$-mal. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Als Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt ist.

Firma A hat bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige geschaltet, die innerhalb eines Monats 800-mal eingeblendet wurde. Dabei sei $X$ binomialverteilt mit $p=0{,}2$.

Nach Angaben des Suchmaschinenanbieters können die Anzeigen nun besser auf die Zielgruppe zugeschnitten werden. Durchschnittlich soll jetzt bei mehr als $20\,\%$ der eingeblendeten Anzeigen ein Webseitenaufruf erfolgen. Wegen dieser verbesserten Qualität plant der Suchmaschinenanbieter eine Preiserhöhung.

Firma A möchte diese Aussage überprüfen und setzt als Nullhypothese $H_0$ an: „Die Wahrscheinlichkeit eines Webseitenaufrufs beträgt höchstens $20\,\%$.“

c) (1)

Begründen Sie, warum Firma A diese Nullhypothese wählt.

(2)

Firma A möchte die Hypothese anhand von $400$ eingeblendeten Anzeigen prüfen.

Ermitteln Sie die Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau $2{,}5\,\%$.

Webseitenaufrufe erfolgen.

Bei einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ gilt hier die Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird verworfen, sobald mindestens $94$ Webseitenaufrufe erfolgen.

Nun sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit für einen Webseitenaufruf über die Anzeige sei tatsächlich auf $25\,\%$ gestiegen.

(3)

Bestimmen Sie für diese Annahme die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.

(4)

Firma A erwägt, die Nullhypothese $H_0$ stattdessen mit einer geänderten Stichprobe von $50$ eingeblendeten Anzeigen zu überprüfen. Zum Signifikanzniveau $5\,\%$ lautet die Entscheidungsregel dann: „Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens $16$ Webseitenaufrufe erfolgen.“

Stellen Sie in der nachstehenden Abbildung die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art für die veränderte Stichprobe grafisch dar.

Beurteilen Sie, ob die Änderung des Stichprobenumfangs für den Suchmaschinenanbieter sinnvoll ist.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie sie Abbildung 2 zeigt, nennt man Trägerkonstruktion. Ihre obere Randlinie ist in Abbildung 2 schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstelle $x_n$ der Funktion.

[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist $x_n \approx 22{,}44$.]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß der vertikale Abstand zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen maximal ist.

b)

(1) Ermitteln Sie, an welcher Stelle die obere Randlinie am stärksten ansteigt und an welcher Stelle sie am stärksten abfällt.

(2) Prüfen Sie, ob die obere Randlinie an irgendeiner Stelle steiler als $45^\circ$ ansteigt oder abfällt.

c)

(1) Die Strebe $S_1$ aus Abbildung 3 trifft in $3\text{ cm}$ Höhe auf die obere Randlinie.

Ermitteln Sie die Stelle dieser Verbindung.

(2) Eine weitere Strebe $S_2$ verläuft entlang einer Geraden, die im Punkt $P_1(6\mid 0)$ auf die $x$-Achse trifft. Diese Gerade trifft in einem Punkt $P_2$ senkrecht auf die obere Randlinie, wenn der Abstand zwischen $P_1$ und $P_2$ minimal ist.

Leiten Sie einen Term zur Berechnung des Abstands zwischen $P_1$ und $P_2$ her.

Ermitteln Sie den Punkt $P_2$, in dem die Strebe $S_2$ senkrecht auf die obere Randlinie trifft.

d)

In Abbildung 2 ist auf der rechten Seite der Brücke oberhalb der oberen Randlinie eine Rampe zu erkennen, die den Übergang zum Ufer ermöglicht.

Im mathematischen Modell entspricht diese Rampe einer Tangente an die obere Randlinie an der Stelle $x = 17$.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Tangente.

e)

Zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen verläuft ein weiterer Bogen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29),\; x \in \mathbb{R}$, beschreibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens.

Bestimmen Sie im Intervall $[2; 19]$ den minimalen und den maximalen vertikalen Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem durch $g$ beschriebenen Bogen.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie sie Abbildung 2 zeigt, nennt man Trägerkonstruktion. Ihre obere Randlinie ist in Abbildung 2 schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Ein weiterer Bogen erstreckt sich zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, gibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens wieder.

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Die in Abbildung 4 schraffierte Fläche, die von der oberen Randlinie, der unteren Horizontalen und dem durch $g$ beschriebenen Bogen begrenzt wird, soll mit Stoff überzogen werden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.