Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Aus den Rohstoffen $\text{R}_1$ und $\text{R}_2$ werden die Zwischenprodukte $\text{Z}_1$, $\text{Z}_2$ und $\text{Z}_3$ und daraus die Endprodukte $\text{E}_1$ und $\text{E}_2$ hergestellt. Die Abbildung gibt, jeweils in Mengeneinheiten, für jedes Zwischenprodukt den Bedarf an Rohstoffen und für jedes Endprodukt den Bedarf an Zwischenprodukten an.

Für den Produktionsprozess gilt $\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \vec{e}$. Dabei gibt der Vektor $\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe und der Vektor $\vec{e} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Endprodukte an.

a

Der Vektor $\vec{z} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$ stellt die Anzahlen der Mengeneinheiten der Zwischenprodukte dar. Geben Sie die Matrix $M$ an, für die $\vec{z} = M \cdot \vec{e}$ gilt.

$M =$

b

Bei der Herstellung von $E_1$ und $E_2$ werden 28 Mengeneinheiten von $R_1$ und 40 Mengeneinheiten von $R_2$ verbraucht. Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten von $E_1$ und $E_2$ jeweils hergestellt wurden.

Aus den Rohstoffen $\text{R}_1$ und $\text{R}_2$ werden die Zwischenprodukte $\text{Z}_1$, $\text{Z}_2$ und $\text{Z}_3$ und daraus die Endprodukte $\text{E}_1$ und $\text{E}_2$ hergestellt. Die Abbildung gibt, jeweils in Mengeneinheiten, für jedes Zwischenprodukt den Bedarf an Rohstoffen und für jedes Endprodukt den Bedarf an Zwischenprodukten an.

Für den Produktionsprozess gilt $\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \vec{e}$. Dabei gibt der Vektor $\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe und der Vektor $\vec{e} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Endprodukte an.

a

Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den A und B den Abstand 5 haben.

[3 BE]

$a =$

b

Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den das Dreieck OAB im Punkt B rechtwinklig ist.

[2 BE]

$a =$

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte $A$, $B$ und $D$. Die Grundfläche $OABC$ des Quaders ist quadratisch.

a

Beschreiben Sie die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2}\cdot(\vec{b}-\vec{a})$ gehört.

[1 BE]

b

Der Punkt $P$ hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{d}$.

Zeichnen Sie $P$ in die Abbildung ein.

[1 BE]

c

Begründen Sie, dass der Wert des Terms $\vec{b}\circ\vec{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

[3 BE]