Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf derjenigen Diagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft. Beispielsweise hat die Matrix $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ die Spur $5$.

Betrachtet wird die Matrix $M_k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -k & k \end{pmatrix}$ mit $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Bestimmen Sie alle Werte von $k$, für die $M_k$ und die inverse Matrix von $M_k$ die gleiche Spur haben.

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

a

Begründen Sie, dass die Gerade durch A und B parallel zur y-Achse verläuft.

[1 BE]

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

b)

Der Punkt $C$ liegt auf der $y$-Achse. Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Gerade durch $B$ und $C$. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts $C$ haben.

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

Aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ und daraus die Endprodukte $E_1$ und $E_2$ hergestellt. Die Abbildung gibt, jeweils in Mengeneinheiten, für jedes Zwischenprodukt den Bedarf an Rohstoffen und für jedes Endprodukt den Bedarf an Zwischenprodukten an.

Für den Produktionsprozess gilt

$$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 4 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}.$$

Dabei gibt der Vektor $\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe und der Vektor $\vec{e} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Endprodukte an.

a)

Ausgehend von 8 Mengeneinheiten von $R_1$, 28 Mengeneinheiten von $R_2$ und $r_3$ Mengeneinheiten von $R_3$ werden Endprodukte hergestellt. Dabei bleiben keine Rohstoffe übrig. Bestimmen Sie den Wert von $r_3$.

b)

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$ (vgl. Abbildung).

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(3|4|1)$, $C(1|7|3)$ und $D(-2|3|2)$.

a)

Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

b)

Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $\overline{AC}$. Das Dreieck $ABT$ hat bei $B$ einen rechten Winkel. Ermitteln Sie das Verhältnis der Länge der Strecke $\overline{AT}$ zur Länge der Strecke $\overline{CT}$.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(3|4|1)$, $C(1|7|3)$ und $D(-2|3|2)$.

Gegeben ist die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Für eine Matrix $B$ gilt $A \cdot B = B \cdot A$. Ermitteln Sie alle Matrizen, die für $B$ infrage kommen, d. h. die angegebene Bedingung erfüllen.