Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (Kolleg)

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ durch $f(x)=-x^2+4x$ und $g(x)=x$, $x \in \mathbb{R}$.

Zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse liegt eine Fläche $E$ mit dem Inhalt $\frac{32}{3}$ FE.

Durch den Graphen von $g$ wird die Fläche $E$ in zwei Teilflächen zerlegt (vgl. Abbildung 1).

(1)

Berechnen Sie, an welchen Stellen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt jeder der beiden Teilflächen von $E$.

Die Funktion $f$ wird durch die Gleichung $f(x) = -x^2 \cdot e^{-x+2}$ mit $x \in \mathbb{R}$ beschrieben.

(1)

Zeigen Sie: $f'(x) = (x^2 - 2x) \cdot e^{-x+2}$.

(2)

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

c) Abbildung 2 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$.

(1)

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für das Integral $\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ und erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen.

(2)

$F$ sei eine Stammfunktion von $f$.

(i)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass an den Stellen $x=0$, $x=4$ und $x=8$ Extremstellen von $F$ vorliegen.

(ii)

Geben Sie mit Begründung an, welche Art von Extremstelle von $F$ bei $x=4$ vorliegt.

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 25$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Bekannt ist: $P_{25;\, 0{,}5}(X \le 10) \approx 0{,}2122$.

Ermitteln Sie mithilfe dieses Werts $P_{25;\, 0{,}5}(X \ge 11)$.

(2)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(3)

Geben Sie den Wert von $P_{25;\, 0{,}5}(X \le 12)$ an.

Betrachtet werden die drei mathematischen Ansätze I, II und III:

I

$$\binom{n}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^n \le 0{,}2$$

II

$$n \cdot p = 12 \cdot 0{,}2$$

III

$$\binom{12}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{12} + \binom{12}{1} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{11} + \binom{12}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{10}$$

Zwei der drei Ansätze lassen sich jeweils einem der folgenden Arbeitsaufträge A, B bzw. C zuordnen. Allen drei Arbeitsaufträgen liegt eine binomialverteilte Zufallsgröße zugrunde. Ein Ansatz kann keinem Arbeitsauftrag zugeordnet werden, und ein Arbeitsauftrag lässt sich keinem Ansatz zuordnen.

A

Die Parameter sind $n = 12$ und $p = 0{,}7$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zwei Erfolge eintreten.

B

Der Parameter ist $p = 0{,}3$. Die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg soll höchstens $20\ \%$ betragen. Ermitteln Sie, wie viele Versuche dafür nötig sind.

C

Die Parameter sind $n = 12$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zwei Erfolge eintreten.

(1)

Entscheiden Sie, welcher Arbeitsauftrag zu welchem mathematischen Ansatz passt.

(2)

Geben Sie für den Ansatz ohne zugeordneten Arbeitsauftrag einen passenden Arbeitsauftrag an.

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration über die Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Den höchsten Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages nennt man im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \leq x \leq 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \left(58x^2 + 10\,000x + 208\right) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7} + 7 \;,\; x \in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird für $0 \leq t \leq 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \;,\; t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei bezeichnet $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ zu sehen.

a)

(1)

Bestimmen Sie $f(3)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Aufgabe. [2 Punkte]

pg/ml

(2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration größer als $80\text{ pg/ml}$ ist. [3 Punkte]

Jahre

Jahre

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach dem Modell ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an.

[Zur Kontrolle: $f'(x) = (-5{,}8x^2 - 884x + 9979{,}2) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7}$ und $x_{\max} \approx 10{,}6$.] [7 Punkte]

Jahre

pg/ml

(4)

Ermitteln Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration im Modell am stärksten sinkt. [3 Punkte]

Jahre

b)

(1)

Bestimmen Sie die lokalen Extrempunkte der Funktion $h$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. Geben Sie die Extremstellen dabei als Uhrzeiten in Stunden und Minuten an. [4 Punkte]

pg/(ml·h)

pg/(ml·h)

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration über die Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Den höchsten Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages nennt man im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \leq x \leq 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \left(58x^2 + 10\,000x + 208\right) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7} + 7 \;,\; x \in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird für $0 \leq t \leq 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \;,\; t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei bezeichnet $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ zu sehen.

Teilaufgabe a) (5)

a) (5)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a;b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Tageshöchstkonzentration für das Altersintervall von 5 bis 15 Jahren.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent dieser Mittelwert vom maximalen Wert der Tageshöchstkonzentration (ca. $137{,}675\text{ pg/ml}$) abweicht. Geben Sie das Ergebnis in Prozent an:

Teilaufgabe b) (2) bis (5)

Am Anfang ($t = 0$) liegt die Hormonkonzentration bei $20\text{ pg/ml}$.

b) (2)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration im Intervall $[0;8]$ für $t = 4$ ihr Maximum annimmt.

b) (3)

Ermitteln Sie die Zeitpunkte $a_1$ und $a_2$ im Beobachtungszeitraum ($0 \le a_1 < a_2 \le 8$), zu denen die Hormonkonzentration $40\text{ pg/ml}$ beträgt:

b) (4)

Zeigen Sie, dass die Hormonkonzentration am Anfang ($t = 0$) des Beobachtungszeitraums mit der am Ende ($t = 8$) übereinstimmt.

b) (5)

Die Tageshöchstkonzentration wird im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens ($0 \le t \le 8$) erreicht.

Ermitteln Sie mithilfe von $h$ die maximale Hormonkonzentration (Tageshöchstkonzentration) in pg/ml:

Bestimmen Sie mit der Funktion $f$ ein mögliches Alter (in Jahren) einer Person, die diese Tageshöchstkonzentration aufweist:

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $t$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Wendepunktes $W$ des Graphen von $f$.

$W($

$|$

$)$

a) (2) (i)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion $t$ die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Wendepunkt $W(4 \mid f(4))$ ist.

a) (2) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen der Funktion $t$ ein.

Teilaufgabe d)

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = t(x) \cdot e^{-\frac{1}{4}x}, \quad x \in \mathbb{R},$$

dargestellt. $[t(x) = -\frac{3}{2}x + 8]$.

Für jede reelle Zahl $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$ ist durch die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$ gegeben.

d) (1)

Als Beispiel ist in Abbildung 4 das Dreieck $PQ_3R_3$ ($u = 3$) eingezeichnet. Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(3)$ des Dreiecks $PQ_3R_3$ gilt: $A(3) \approx 2{,}48\text{ FE}$.

d) (2)

Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(u)$ eines Dreiecks $PQ_uR_u$ gilt:

$$A(u) = \left(-\frac{3}{4}u^2 + 4u\right) \cdot e^{-\frac{1}{4}u}.$$

d) (3)

Weisen Sie nach:

$$A'(u) = \left(\frac{3}{16}u^2 - \frac{5}{2}u + 4\right) \cdot e^{-\frac{1}{4}u}.$$

d) (4)

Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $t$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Teilaufgabe a)

(3)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den die y-Achse sowie die Graphen von $t$ und $f$ begrenzen.

FE

Teilaufgabe b)

Abbildung 2 veranschaulicht ein Verfahren, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Bei einer Rundung auf drei Nachkommastellen gilt für die Flächeninhalte der schraffierten Flächen:$$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},\quad A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$$

(1)

Zeigen Sie: $A_3 \approx 3{,}688\text{ FE}$.

(2)

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der mit dem gezeigten Verfahren erhaltene Näherungswert des Integrals $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ vom exakten Wert abweicht.

%

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die quadratische Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{3}{8}x^2 + \frac{9}{4}x$.

(2)

Der Inhalt der Fläche, die zwischen den Nullstellen $x = 0$ und $x = 6$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, beträgt $\frac{27}{2}\text{ FE}$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Fläche zwischen dem Graphen von $p$ und der x-Achse im Bereich der Nullstellen $x = 0$ und $x = 6$ denselben Inhalt hat.

(3)

In Abbildung 3 sind die Graphen von $f$ und $p$ dargestellt.

Für den Flächeninhalt $A_{\text{links}}$ der linken schraffierten Fläche gilt: $A_{\text{links}} = \frac{81}{32}\text{ FE}$.

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt die rechte schraffierte Fläche $A_{\text{rechts}}$ hat.

FE

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $t$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

c) $p$ ist eine quadratische Funktion, für die Folgendes gilt:

$p$ und $f$ haben dieselben Nullstellen.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p$ ist ein Punkt des Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Funktionsgleichung für $p$.

[Kontrollergebnis: $p(x) = -\frac{3}{8}\cdot x^2 + \frac{9}{4}\cdot x$.]

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte

$B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

bilden die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich ist diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an, die zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an.

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich den Koordinaten entnehmen.]

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Größen aller Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks $B_1B_2C$.

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte

$B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

bilden die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich ist diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

c)

Die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ liegen in der Ebene $E$.

(1) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform.

[2 Punkte]

(2) Eine Markierung auf der Plattform verläuft entlang der Geraden $m$ mit

$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Punkt, in dem die Gerade $m$ die Ebene $E$ schneidet.

[3 Punkte]

(

|

|

)

d)

Wenn die Sonne genau im Süden steht, fallen die Sonnenstrahlen entlang des Vektors

$$\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, \quad h \in \mathbb{R}, h > 0$$

ein. Dabei ist der Wert des Parameters $h$ von der Jahreszeit abhängig. Der Schattenpunkt der Spitze der Pyramide ist nur dann am Boden zu sehen, wenn die Sonne nicht zu hoch am Himmel steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar $g_h$ mit

$$g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h > 0.$$

(1) Ermitteln Sie, für welche Werte von $h$ der Schattenpunkt der Spitze am Boden zu sehen ist.

[Hinweis: Die Größe der Plattform muss nicht berücksichtigt werden.]

[3 Punkte]

$h <$

Am 22. September 2021 sind Tag und Nacht gleich lang.

An diesem Tag verläuft der Schattenpunkt der Spitze den gesamten Tag geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur $x_1$-Achse.

Wenn sich die Sonne an diesem Tag zur Mittagszeit genau im Süden befindet, steht sie in einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr. Das entspricht ungefähr dem Wert $h = 0{,}79$.

(2) Ermitteln Sie die Koordinaten des Schattenpunktes zu diesem Zeitpunkt und geben Sie für die Gerade, entlang derer der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 verläuft, eine Gleichung in Parameterform an.

[3 Punkte]

(

|

|

)

Aufgabenstellung:

Für Internetwerbung geben Unternehmen oft erhebliche Beträge aus und schalten dabei häufig eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Je nach Suchanfrage der Nutzer wird die Anzeige angezeigt. Klickt man sie an, gelangt man auf die Webseite des Unternehmens.

Bei der Firma A zeigt sich, dass 40 % der Webseitenbesuche durch eine Anzeige bei einer Suchmaschine zustande kommen. 30 % dieser Besucher erwerben ein Produkt. Gelangt ein Besucher auf anderem Weg als über die Anzeige einer Suchmaschine auf die Seite, kommt es nur in 10 % der Fälle zu einem Kauf.

a) (1) Stellen Sie die beschriebene Situation mithilfe eines Baumdiagramms dar.

(2)

Bestimmen Sie den Anteil der Webseitenbesuche, bei denen ein Produkt gekauft wird.

(3)

Über die Webseite der Firma A erwirbt ein Kunde ein Produkt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde durch eine eingeblendete Anzeige auf die Webseite gekommen ist.

Aufgabenstellung:

Für Internetwerbung geben Unternehmen oft erhebliche Beträge aus und schalten dabei häufig eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Je nach Suchanfrage der Nutzer wird die Anzeige angezeigt. Klickt man sie an, gelangt man auf die Webseite des Unternehmens.

Bei der Firma A zeigt sich, dass 40 % der Webseitenbesuche durch eine Anzeige bei einer Suchmaschine zustande kommen. 30 % dieser Besucher erwerben ein Produkt. Gelangt ein Besucher auf anderem Weg als über die Anzeige einer Suchmaschine auf die Seite, kommt es nur in 10 % der Fälle zu einem Kauf.

Auch Firma B lässt bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige anzeigen. Innerhalb eines Monats wird diese Anzeige 800-mal eingeblendet. Man nimmt an, dass $X$ binomialverteilt ist mit $p = 0{,}2$.

b)

(1)

(i) Es gilt: $P_{800;0{,}2}(X = 160) \approx 0{,}0352$.

Interpretieren Sie diese Aussage im Kontext der Situation.

(ii) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens 180 Webseitenaufrufe.

(iii) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als 170 Webseitenaufrufe.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der Webseitenaufrufe vom Erwartungswert um mehr als 5 abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Einblendungen der Anzeige, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Webseitenaufruf stattfindet.

c)

Für 800 eingeblendete Anzeigen bietet der Suchmaschinenanbieter Firma B zwei Bezahloptionen an. Bei Option 1 zahlt Firma B 0,06 € je eingeblendeter Anzeige. Bei Option 2 fallen Kosten nur für Webseitenaufrufe an, dafür berechnet der Anbieter jedoch 0,28 € pro Webseitenaufruf.

(1)

Bestimmen Sie die größte Anzahl an Webseitenaufrufen, für die Option 2 günstiger ist als Option 1.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Firma B mit Option 2 geringere Kosten hat.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt ein Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die seitliche Ansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, heißt Trägerkonstruktion. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000} x^3 - \frac{67}{1000} x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 1 cm am Brückenmodell. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung außer Acht.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstelle $x_n$ der Funktion.

[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist $x_n \approx 22{,}44$.]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch den größten senkrechten Abstand der oberen Randlinie von der unteren Horizontalen.

b)

Ermitteln Sie sowohl die Stelle, an der die obere Randlinie am stärksten ansteigt, als auch die Stelle, an der sie am stärksten abfällt.

c)

(1) Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_1$ trifft in einer Höhe von $3\text{ cm}$ auf die obere Randlinie und ist dort mit ihr verbunden.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle diese Verbindung liegt.

(2) Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_2$ liegt auf einer Geraden, die die $x$-Achse im Punkt $P_1(6\mid 0)$ unter einem Winkel von 45 Grad schneidet.

Ermitteln Sie rechnerisch den Punkt, in dem diese Strebe die obere Randlinie erreicht.

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen. Für $2 \le x \le 19$ wird sein Verlauf durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot (x-2)\cdot (x-19)\cdot (x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschrieben.

e)

Bestimmen Sie für das Intervall $[2; 19]$ den kleinsten und den größten senkrechten Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem Bogen, den $g$ beschreibt.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt ein Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die seitliche Ansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, heißt Trägerkonstruktion. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000} x^3 - \frac{67}{1000} x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 1 cm am Brückenmodell. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung außer Acht.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

Der Bereich, der von der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen eingeschlossen wird, soll mit Stoff überzogen werden.

d)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Bereichs.