Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^3 - x$.

(1) Genau einer der nachstehenden Graphen I, II und III gehört zu $f$.

Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der obigen Abbildung 1 ablesen.

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (x+2) \cdot e^{-x+4}, \; x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle $f$ ihre Extremstelle hat.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (x+2) \cdot e^{-x+4}, \; x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die genauen Größen der $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird mit der Gleichung

$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ definiert.

(1)

Geben Sie für die Funktion $f_1$ mit $f_1(x)=(x+2)(2x+1)e^x$ die Nullstellen an.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_a$ für ein konkretes $a$ abgebildet. Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird mit der Gleichung

$$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ definiert.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}5$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ verläuft symmetrisch zum Erwartungswert.

(1)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ gilt näherungsweise $2\,\%$.

Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$.

In den folgenden Aufgaben werden immer zwei Würfel zusammen geworfen. Die Seiten jedes Würfels tragen die Zahlen von 1 bis 6.

(1)

Beide Würfel werden ein einziges Mal geworfen.

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt.

In den folgenden Aufgaben werden immer zwei Würfel zusammen geworfen. Die Seiten jedes Würfels tragen die Zahlen von 1 bis 6.

(2)

Man wirft die beiden Würfel 36-mal. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, bei wie vielen dieser Würfe keine „6“ fällt.

Begründen Sie bei jeder der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, weshalb sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Außerdem sei die Funktion $t$ definiert durch

$$t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3}, \quad x \in \mathbb{R},$$ Ferner sei $W(3 \mid f(3))$ der Wendepunkt des Graphen von $f$. Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente $t$ und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $f$ ausschließlich bei $x=1$ eine Nullstelle besitzt.

a) (2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$.

a) (3)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. [Kontrolllösung: An der Stelle $x=2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor.]

a) (4)

Ermitteln Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f(x) < 0{,}1$.

Teilaufgabe b)

$P_u(u \mid f(u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$. $P_u$ legt zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ das Dreieck $NF_uP_u$ fest.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $NF_uP_u$ für den Fall ein, dass $P_u$ der Hochpunkt des Graphen von $f$ ist.

b) (2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus b) (1).

b) (3)

Untersuchen Sie, ob $P_u$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $NF_uP_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ hat.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$, $x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

c) (1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt.

c) (2)

Die Schnittpunkte der in c) (1) gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck fest. Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks.

c) (3)

Im Intervall $[1;5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in c) (1) gegebene Tangente zusammen mit der $x$-Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2). Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$.

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y=x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.

d) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_R$. [Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.]

d) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $y=-x$ wird als „2. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_R$ mit der 2. Winkelhalbierenden.

d) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_R$ von der 1. Winkelhalbierenden hat.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Außerdem sei die Funktion $t$ definiert durch

$$t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3}, \quad x \in \mathbb{R},$$ Ferner sei $W(3 \mid f(3))$ der Wendepunkt des Graphen von $f$. Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente $t$ und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

(3)

Der Graph von $f$, die in c) (1) angegebene Tangente und die $x$-Achse schließen im Intervall $[1; 5]$ eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $F$.

FE

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die gegeben ist durch $$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $(12 \mid 2160)$ einen Hochpunkt des Graphen von $f$ darstellt und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$, die die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ miteinander verbindet.

$g(x) =$

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu $g$ parallele Gerade ein, die im Bereich $0 \le x \le 8$ genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von $f$ besitzt.

a) (3)

Die nachstehende Abbildung entspricht unverändert der Abbildung auf Seite 1:

Für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ legen die Punkte $O(0 \mid 0)$, $B(b \mid 0)$ und $C(b \mid f(b))$ ein Dreieck $OBC$ fest.

Ermitteln Sie den Wert von $b$, bei dem das Dreieck $OBC$ den größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]

$b \approx$

$A_{\text{max}} \approx$

FE

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die gegeben ist durch $$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Teilaufgabe b) (1) und b) (4)

b) (1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ ergibt.

Faktor =

b) (4)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 16]$, an denen die Graphen der Funktionen $f$ und $h_3$ in vertikaler Richtung $250$ Längeneinheiten voneinander entfernt sind.

Runden Sie alle gefundenen Stellen im Intervall auf eine Nachkommastelle und geben Sie diese an.

$x_1 \approx$

$x_2 \approx$

$x_3 \approx$

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die gegeben ist durch $$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Teilaufgabe b) (2)

Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt.

$a =$

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die gegeben ist durch $$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Teilaufgabe b) (3)

Die Gleichung $f(x) = h_{3{,}75}(x)$ besitzt genau die drei Lösungen $x_1 = 0$, $x_2 = 6$ und $x_3 = 10$; außerdem gilt:

$$\int_{0}^{10} \left(f(x) - h_{3{,}75}(x)\right) \mathrm{d}x = 0$$

Erläutern Sie, was diese Aussage geometrisch für die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ bedeutet.

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die gegeben ist durch $$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Eine Firma bewahrt Glyzerin in einem Tank auf. Für $0 \le x \le 20$ wird die momentane Änderungsrate des Tankinhalts durch die Funktion $f$ (aus a)) modelliert. Hierbei steht $x$ für die seit Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank 1200 kg Glyzerin.

(1)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $(4\,|\,240)$. Interpretieren Sie die Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang.

(2)

Beurteilen Sie diese Aussage: „Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich im Tank die größte Menge Glyzerin.“

(3)

Bestimmen Sie, um wie viel der Tankinhalt im Zeitraum von acht bis zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn zunimmt.

(4)

Berechnen Sie die Glyzerinmenge, die sich 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet.

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen bestimmt werden können.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das daraus geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll der geheime Code im Folgenden stets aus drei Ziffern bestehen.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt:

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ von $g$ und $H$.

Für $a \in \mathbb{R}$ sei die Gerade $h_a$ gegeben durch:

$$h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$$

Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ und $h_a$.

Teilaufgabe a)

(1)

Man gibt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ in das System ein.

Berechnen Sie, wie der geheime Code lautet. [5 Punkte]

(2)

Der Punkt $S$ befindet sich nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Eine vierte mitarbeitende Person bekommt den Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ ist in der Ebene $H$ enthalten.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code dennoch nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden. [2 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der sich von $C$ und $S$ unterscheidet, sodass sich der geheime Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermitteln lässt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Für ein $a \in \mathbb{R}$ ist die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$, gegeben. Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) und der Geraden $h_a$.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $S$ der Schnittpunkt von $g$ und $h_a$ ist. [2 Punkte]

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende erhalten als Teilgeheimnis jeweils die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden $h_4$, der nicht mit $S$ übereinstimmt.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der sich von $(-7|8|-1)$ und $S$ unterscheidet und als Teilgeheimnis infrage kommt. [1 Punkt]

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen bestimmt werden können.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das daraus geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll der geheime Code im Folgenden stets aus drei Ziffern bestehen.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt:

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ von $g$ und $H$.

Für $a \in \mathbb{R}$ sei die Gerade $h_a$ gegeben durch:

$$h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$$

Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ und $h_a$.

c) Eine andere Firma nutzt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, dessen Basis $\overline{IJ}$ ist.

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, nämlich $I(4|3|2)$, $J(8|6|-1)$ und $K(6|5|1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code des Unternehmens. [3 Punkte]

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $L$. [2 Punkte]

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden bestanden.

a) Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird vorausgesetzt, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1)

Ermitteln Sie zu jedem der folgenden Ereignisse die zugehörige Wahrscheinlichkeit:

$P(E1) = P(X \le 160) \approx$

$P(E2) = P(X \ge 200) \approx$

$P(E3) \approx$

(2)

Im Weiteren sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \le k \le 250$.

$P(X \ge 165) \approx$

$k \ge$

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden bestanden.

b) Eine Fahrschulkette beabsichtigt, im Jahr 2022 in Soest eine neue Filiale zu eröffnen. Die Zentrale fordert hinsichtlich der Ausbildungsqualität, dass durchschnittlich mindestens $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest rechnet man damit, dass im Jahr 2022 $200$ praktische Prüfungen stattfinden. Werden davon mindestens $140$ bestanden, nimmt die Zentrale an, dass in Soest wegen der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden wird. Modellhaft wird unterstellt, dass die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter den $200$ erwarteten Prüfungen binomialverteilt ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit jeder Prüfung nur $65\,\%$ beträgt.

(2)

Die Abbildung stellt das Histogramm zu $P_{200;0{,}7}(Y = k)$ dar, das heißt für den Fall $p = 0{,}7$.

Werden in Soest von den $200$ erwarteten praktischen Prüfungen z. B. nur $130$ bestanden, schließt die Zentrale daraus, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $70\,\%$ bestanden wird.

Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb der Zentrale mit dieser Einschätzung möglicherweise ein Irrtum unterlaufen ist.

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

a)

Begründen Sie, dass die obere Randlinie symmetrisch bezüglich der y-Achse verläuft. (1 Punkt)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a\cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 0$ beschrieben werden.

e)

Die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils ist in der Abbildung mit $s$ gekennzeichnet.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, bei dem sich $s = 0{,}1\text{ dm}$ ergibt. (3 Punkte)

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ zur Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind. (2 Punkte)

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie hoch und wie lang die Brücke ist (vgl. Abbildung).

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die x-Koordinate $2$.] (5 Punkte)

c)

Geben Sie an, was der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang bedeutet, und bestimmen Sie seinen Wert. (2 Punkte)

d)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die man beim Überqueren der Brücke bewältigen muss. (2 Punkte)

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

Bei der Brücke wird $a = 1{,}25$ gesetzt. Alle drei Bauteile bestehen aus massivem Holz, wobei ein Volumen von $1\text{ dm}^3$ dieses Holzes eine Masse von $800\text{ Gramm}$ besitzt. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

g)

Bestimmen Sie die Nullstellen von $q_{1{,}25}$ und ermitteln Sie anschließend, welche Masse das mittlere Bauteil hat. (5 Punkte)