Aufgabe B3 - Längen und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors nützlich: Keine einzelne Person kennt ihn, sondern er lässt sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den Code bestimmen, indem sie diese in ein Computersystem eintragen, das mit den Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code drei Ziffern hat.

Ein weiteres Unternehmen nutzt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ in einem gleichschenkligen Dreieck $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$.

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, nämlich $I(4\mid 3\mid 2)$, $J(8\mid 6\mid -1)$ und $K(6\mid 5\mid 1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden.

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code.

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten eines passenden Punktes $L$.