Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Nachtermin · CAS

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die folgendermaßen definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= (1 - x^2) \cdot e^{x+1}, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= (1 + x^2) \cdot e^{x+1}, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= (1 - x^2) \cdot e^{-x^2}, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Geben Sie für zwei der drei Funktionen f, g und h jeweils mit Begründung an, welcher der Graphen A, B oder C zu der jeweiligen Funktion passt.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die folgendermaßen definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= (1 - x^2) \cdot e^{x+1}, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= (1 + x^2) \cdot e^{x+1}, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= (1 - x^2) \cdot e^{-x^2}, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2)

Berechnen Sie $h'(-1)$.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die folgende Gleichung eine Funktion $f_a$ festgelegt:

$$f_a(x) = x^2 + (1-2a)\cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}$$

(1)

Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle besitzt.

(2)

Bestimmen Sie den Parameterwert $a$ so, dass $f_a$ zusätzlich an der Stelle $x = -2$ eine Nullstelle hat.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die folgende Gleichung eine Funktion $f_a$ festgelegt:

$$f_a(x) = x^2 + (1-2a)\cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}$$

(3)

In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f_0$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie der Abbildung entnehmen.

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind diese Angaben bekannt:

Die Funktion hat an der Stelle $x = 2$ ein lokales Extremum.

$W(0|4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum die gesuchte Funktion mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Man geht von diesem Ansatz aus:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b$$

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems jeweils anhand der Angaben (i), (ii) bzw. (iii).

(3)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des vorliegenden Gleichungssystems.

d) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2 + 4x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Für alle $a \in \mathbb{R}$ gilt: $f(2-a) = e^{-a^2+4}$.

Weisen Sie für jedes $a \in \mathbb{R}$ die Gültigkeit der Gleichung $f(2+a) = f(2-a)$ nach.

(2)

Interpretieren Sie, was die Gleichung $f(2-a) = f(2+a)$ geometrisch für den Verlauf des Graphen von $f$ bedeutet.

d) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2 + 4x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

Der Graph von $f$ verläuft durch den Punkt $P(4|1)$.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(4|1)$ berührt.

$t(x) =$

e) Betrachtet werden die Geradenschar $g_a$ und die Ebene $E$, die durch folgende Gleichungen beschrieben werden:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},\, a \in \mathbb{R} \quad \text{und}$$

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den die Gerade $g_a$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht.

(2)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(3)

Geben Sie einen Wert für $a$ an, bei dem die Gerade $g_a$ vollständig in der Ebene $E$ liegt.

f) Gegeben sind die Punkte $A(-2 \mid 1 \mid 2)$, $B(-1 \mid 1 \mid p)$ und $C(1 \mid p \mid q)$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Der Parameter $p$ ist so zu wählen, dass die Gerade, die durch $A$ und $B$ verläuft, zu einer der Koordinatenachsen parallel ist.

Geben Sie den dafür geeigneten Wert von $p$ an und nennen Sie die Achse, zu der die Gerade parallel ist.

(2)

Alternativ zu (1) lässt sich $p$ auch so wählen, dass der Punkt $C$ bei passendem $q$ auf der Geraden durch $A$ und $B$ liegt.

Bestimmen Sie die Werte von $p$ und $q$, für die dies zutrifft.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße $X$ stimmen überein.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Erfolge zu erzielen, kann man mit $P(X = 2) = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Es gilt $P(X = 0) = P(X = 1)$.

wahr

falsch

Für ein Spiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln genau zwei Kugeln entnommen:

Den Anfang macht eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne A.

Ist die Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine weitere Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, $0{,}7$ beträgt.

(3)

In Urne $B$ wird die Anzahl der schwarzen Kugeln angepasst. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Spielen genau eine schwarze Kugel zu ziehen, von $0{,}7$ auf $0{,}5$.

Für ein Spiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln genau zwei Kugeln entnommen:

Den Anfang macht eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne A.

Ist die Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine weitere Kugel aus Urne A gezogen.

Man spielt das Spiel mehrfach hintereinander.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis $E$ an, für das

$$\mathrm{P}(E) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2$$

zutrifft.

Für die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ einer Funktionenschar gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a-x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $$h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2} \quad \text{und} \quad g_{-2}(x) = -4x + 1.$$

Der Graph von $f_{-2}$ und die beiden Tangenten begrenzen gemeinsam eine Fläche.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, falls ihre Steigungen in $P$ übereinstimmen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ sowie einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \mid 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Man erhält ihn, indem man den Graphen von $f_1$ nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschiebt.

a)

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der beiden Graphen zugeordnet ist.

[1 Punkt]

c)

(1) Zeigen Sie, dass sich der Graph von $f_{-a}$ ergibt, wenn man den Graphen von $f_a$ an der y-Achse spiegelt.

[2 Punkte]

(2) Die Funktion $\tilde{f}$ ist gegeben durch $\tilde{f}(x) = 2 \cdot f_1(x) - 1$, $x \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob $\tilde{f}$ ein Element der Funktionenschar $f_a$ ist, und geben Sie gegebenenfalls den passenden Wert von $a$ an.

[2 Punkte]

d)

Für jedes $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1-\frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$.

[Hinweis: Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Mit $d_a$ wird die Entfernung zwischen dem Wendepunkt $W_a$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der y-Achse bezeichnet.

(1) Berechnen Sie sämtliche Werte des Parameters $a$, für die $d_a = 5$ gilt.

[4 Punkte]

(2) (i) Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes verändert, wenn $a$ größer wird.

[3 Punkte]

(2) (ii) Für $a > 0$ nähert sich der Abstand $d_a$ einem festen Wert, wenn $a$ immer größer wird.

Geben Sie diesen Wert an.

[1 Punkt]

Für die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ einer Funktionenschar gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a-x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $$h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2} \quad \text{und} \quad g_{-2}(x) = -4x + 1.$$

Der Graph von $f_{-2}$ und die beiden Tangenten begrenzen gemeinsam eine Fläche.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, falls ihre Steigungen in $P$ übereinstimmen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ sowie einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \mid 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Man erhält ihn, indem man den Graphen von $f_1$ nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschiebt.

b) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_a$ sowie deren Art.

b) (2)

Es existieren zwei reelle Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, deren Differenz $1$ beträgt und für die Folgendes zutrifft:

Der Graph von $f_{0,5}$ besitzt in den Punkten $(s \mid f_{0,5}(s))$ und $(t \mid f_{0,5}(t))$ dieselbe Steigung.

Bestimmen Sie $s$ und $t$, gerundet auf zwei Nachkommastellen, und geben Sie die Steigung des Graphen von $f_{0,5}$ an diesen Stellen an.

d) (3)

Die Funktion $h_a$ hat als Graph die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1-\frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$; sie wird im Folgenden Wendetangente genannt.

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, eine Funktionsgleichung für $h_a$.

e)

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ dieselbe Steigung aufweisen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph von $k$ berührt den Graphen von $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1-\frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$. Er geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem dieser nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschoben wird.

Ermitteln Sie rechnerisch, welche Verschiebungen den Graphen von $f_1$ in den Graphen von $k$ überführen, und geben Sie eine Funktionsgleichung für $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm von $k$ muss nicht vereinfacht werden.]

Für die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ einer Funktionenschar gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a-x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $$h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2} \quad \text{und} \quad g_{-2}(x) = -4x + 1.$$

Der Graph von $f_{-2}$ und die beiden Tangenten begrenzen gemeinsam eine Fläche.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, falls ihre Steigungen in $P$ übereinstimmen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ sowie einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \mid 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Man erhält ihn, indem man den Graphen von $f_1$ nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschiebt.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2}$ und $g_{-2}(x) = -4x + 1$.

Die beiden Tangenten und der Graph von $f_{-2}$ begrenzen gemeinsam eine Fläche.

(4)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser eingeschlossenen Fläche.

(5)

Betrachtet wird die Gleichung

$$\int_{z}^{z+3{,}5} \left(h_{-2}(x) - f_{-2}(x)\right) \mathrm{d}x = 0.$$

Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichung und erläutern Sie anhand von Abbildung 2, was diese Lösung geometrisch bedeutet.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Die Ergebnisse müssen nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a)

(1)

Geben Sie die Zuwachsrate zum Ende des 22. April ($t = 50$) an. [2 Punkte]

Bienen pro Tag

(2)

Ermitteln Sie die Zeitpunkte, an denen die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. sinkt. [3 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. [6 Punkte]

[Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20\text{ s}$).]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

In der gesamten Aufgabe müssen Sie keine Umrechnung in Datumsangaben vornehmen!

a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Eine Begründung wird nicht verlangt.]

Ermitteln Sie diesen Wert.

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$).

b)

(2)

Ermitteln Sie eine Gleichung, die es erlaubt, den Beginn und das Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B zu berechnen.

Bestimmen Sie die Schwarmzeit gemäß Ansatz B.

(3)

Vergleichen Sie anhand Ihrer Ergebnisse aus (1) und (2) die Schwarmzeiten beider Ansätze.

c)

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

(3)

Am Ende des 7. April ($t = 35$) waren bereits 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

b) Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich und begibt sich auf die Suche nach neuen Nistplätzen – die Bienen schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um zu prognostizieren, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Nach Ansatz A rechnet der Imker mit einem möglichen Schwärmen, sobald die Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag liegt.

Nach Ansatz B rechnet der Imker mit einem möglichen Schwärmen, wenn innerhalb der nächsten 21 Tage mindestens 30 000 Bienen schlüpfen.

(1)

Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum ein Schwärmen der Bienen droht.

d) Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), müssen im Herbst und Winter kaum arbeiten und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen – zusammen mit ihrer Königin – den Winter und versorgen im folgenden Frühjahr die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) setzt sich das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung zusammen.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

(1)

Mit geeigneten Parametern $a$ und $b$ ist der Ansatz brauchbar$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot t} + 20, \quad t \ge 216$$um eine Funktion $h$ zu bestimmen, welche die obigen Anforderungen erfüllt.

Geben Sie an, welches Vorzeichen die Parameter $a$ und $b$ jeweils haben müssen, und begründen Sie, dass die Funktion $h$ bei dieser Wahl der Vorzeichen alle genannten Anforderungen erfüllt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

(2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Anzahl an Bienen aufweist, und begründen Sie Ihre Angabe.

Tage

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung: Entwicklung eines Bienenvolkes

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen der Nachwuchs schlüpft. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen“ genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, teilt es sich und sucht neue Nistplätze – es schwärmt. Die meisten Imkerinnen und Imker möchten das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800000}t^4 - \frac{1}{30000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Für $35 \le t \le 216$ lässt sich die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben.

d) Bienen, die etwa ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), müssen im Herbst und Winter kaum arbeiten und haben deshalb eine sehr viel längere Lebenserwartung. Viele dieser Bienen überleben – gemeinsam mit ihrer Königin – den Winter und versorgen im nächsten Frühjahr die erste Brut, bevor sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot t} + 20, \quad t \ge 216$$

um eine Funktion $h$ zu erhalten, die die genannten Bedingungen erfüllt.

(2)

Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass der Graph von $h$ an der Stelle $t = 216$ ohne Knick an den Graphen der Funktion $g$ anschließt. [3 Punkte]

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in einem vereinfachten Modell als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen gemeinsam in der Ebene $E_{JKL}$. Sie beschreibt in vereinfachter Form, wo sich die Sitze des Kinos befinden.

b) Die vier Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen gemeinsam in einer Ebene $E_{JKL}$, die im Modell näherungsweise die Position der Kinositze beschreibt.

(1)

Begründen Sie, dass die Gleichung

$$E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r,s \in \mathbb{R}$$

eine Parameterdarstellung der Ebene $E_{JKL}$ ist.

(2)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Koordinatengleichung der Ebene $E_{JKL}$.

[Mögliche Lösung: $E_{JKL}: 2x_2 - 6x_3 = 10$]

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

c) Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen entlang von Richtungsvektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ 3b \\ b \end{pmatrix}$ mit $a,b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$, $b \le 0$, ausgesendet.

(1)

Zeigen Sie, dass alle Laserstrahlen, die diese Bedingung erfüllen, in der Ebene $E_{\mathrm{Laser}}: x_2 - 3x_3 = -4$ liegen.

(2)

Begründen Sie, dass $E_{JKL}$ und $E_{\mathrm{Laser}}$ zueinander parallel, aber nicht identisch sind.

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in einem vereinfachten Modell als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen gemeinsam in der Ebene $E_{JKL}$. Sie beschreibt in vereinfachter Form, wo sich die Sitze des Kinos befinden.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an. [1 Punkt]

b)(3)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist. [1 Punkt]

c)(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, welchen Abstand die Ebene $E_{JKL}$ von der Ebene $E_{\text{Laser}}$ hat. [3 Punkte]

c)(4)

Laserstrahlen werden in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgestrahlt.

Bestimmen Sie rechnerisch, für welchen Wert von $a$ ein Laserstrahl verläuft, der mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt. [4 Punkte]

d)(1)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $S_k$, die von $k$ abhängen und in denen die Laserstrahlen die Wandfläche $AEFB$ erreichen. Zeigen Sie, dass die Punkte $S_k$ vom Punkt $M(5|0|5)$ stets denselben Abstand haben, unabhängig von $k$. [4 Punkte]

d)(2)

Für $-2 \le k \le 2$ bilden die Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Leinwand erreichen, eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass diese ein nach unten geöffneter Halbkreis ist. [3 Punkte]

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die hin und wieder einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n=200$ und $p=0{,}1$

Teilaufgabe a)

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen; die übrigen E-Scooter dieses Herstellers werden privat genutzt.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

(2)

Bei einem weiteren Hersteller liegt die durchschnittliche Nutzungsdauer seiner E-Scooter bei 120 Tagen.

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, den dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

Teilaufgabe b)

E-Scooter kommen hauptsächlich in Großstädten zum Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

E1: Weniger als 17 der Befragten nutzen E-Scooter.

E2: Die Zahl der E-Scooter-Nutzenden liegt mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße X entfernt.

(2)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X für $n=200$ und $p=0{,}1$ dargestellt.

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen möglichen Wert für $k$, sodass $P_{200;0,1}(k \le X \le k+2) \approx 0{,}15$ gilt, und erläutern Sie, wie Sie vorgegangen sind.

(3)

Vier Studierende führen die Befragung durch. Dazu wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen mit je 50 Personen geteilt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in wenigstens zwei der vier Gruppen mindestens 5 Personen E-Scooter nutzen.

Teilaufgabe c)

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und mehr Nutzende gewinnen und lässt deshalb in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt insgesamt 20 Gutscheine, die so verteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gegeben. Es wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen, und wer gezogen wird, erhält jeweils einen Gutschein.

Somit kann jeder Freund bei diesem Verfahren keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein."

Nur einer der folgenden Ansätze eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$.

(I) $$P(E)=20\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{19}$$

(II) $$P(E)=20\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{19}$$

(III) $$P(E)=8\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{7}$$

(IV) $$P(E)=8\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{7}$$

Entscheiden Sie, welcher der Ansätze zutrifft, und erläutern Sie, wie Sie zu Ihrer Entscheidung gekommen sind.

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die hin und wieder einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n=200$ und $p=0{,}1$

d) Die in c) dargestellte Werbekampagne wird auch in einer weiteren deutschen Großstadt umgesetzt. Dort liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit bei nur $6\,\%$. Nach Abschluss der Kampagne werden $150$ zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ darf man fälschlicherweise auf eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und somit auf einen Erfolg der Kampagne schließen.

Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der $5\,\%$-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie das Intervall, nach dem gefragt ist.

(2)

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p > 0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens $20\,\%$.

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06 < p \le 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen.

Wenn Muskeln stark beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest wird der Laktatwert im Blut bestimmt, um den Trainingszustand eines Sportlers einzuschätzen. Bei einem Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19) \cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R}$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten. Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert beim Start und am Ende des Laktatstufentests.

(2)

Ermitteln Sie die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts zum Zeitpunkt 30 Minuten nach Testbeginn.

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, wann der Laktatwert sein Minimum annimmt, und geben Sie diesen Wert an.

(4)

In einem Zeitraum von fünf Minuten liegt die mittlere Zuwachsrate des Laktatwerts bei 0,1 mmol/l pro Minute. Bestimmen Sie diesen Zeitraum.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente.

b)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren A die IAS erreicht ist.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 2).

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

c)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$, und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet. [Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$.]

(2)

Bestimmen Sie eine Zielfunktion, mit deren Hilfe der Abstand eines Punktes auf dem Graphen von $f$ zum Punkt $T$ berechnet werden kann, und ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren B die IAS erreicht ist.