Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=(1-x^2)\cdot e^{x+1},\ x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=(1+x^2)\cdot e^{x+1},\ x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=(1-x^2)\cdot e^{-x^2},\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1) Geben Sie für zwei der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ jeweils mit Begründung an, welchen der Graphen A, B bzw. C man der jeweiligen Funktion zuordnen kann.

Ihre Begründung wurde abgegeben. Vergleichen Sie Ihre Lösung mit der Musterlösung.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=(1-x^2)\cdot e^{x+1},\ x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=(1+x^2)\cdot e^{x+1},\ x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=(1-x^2)\cdot e^{-x^2},\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2) Berechnen Sie $h'(-1)$.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird eine Funktion $f_a$ durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f_a(x) = x^2 + (1-2a) \cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}$$

In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle besitzt.

(2)

Bestimmen Sie den Parameterwert $a$ so, dass $f_a$ an der Stelle $x = -2$ eine zusätzliche Nullstelle hat.

$a =$

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird eine Funktion $f_a$ durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f_a(x) = x^2 + (1-2a) \cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}$$

In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

(3)

In Abbildung 2 ist der Graph von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$ dargestellt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Region, die vom Graphen von $f_0$ und der $x$-Achse vollständig eingeschlossen wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie der Abbildung entnehmen.

$A =$

FE

Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ liegt ein lokales Extremum vor.

(ii) $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

(iii) Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum der Grad der gesuchten Funktion mindestens 3 betragen muss. [1 Punkt]

(2)

Man verwendet diesen Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,\quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Den Funktionsterm von $f$ erhält man über dieses Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} d &= 4 \\ 64a + 16b + 4c + d &= 0 \\ 12a + 4b + c &= 0 \\ 2b &= 0 \end{aligned}$$

Begründen Sie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems jeweils anhand der Angaben (i), (ii) bzw. (iii). [2 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie die Lösung des vorliegenden Gleichungssystems. [2 Punkte]

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2+4x},\ x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Es gilt für jedes $a \in \mathbb{R}$: $f(2-a) = \mathrm{e}^{-a^2+4}$.

Weisen Sie nach, dass die Gleichung $f(2+a) = f(2-a)$ für jedes $a \in \mathbb{R}$ erfüllt ist.

(2)

Interpretieren Sie, was die Gleichung $f(2-a) = f(2+a)$ geometrisch für den Graphen von $f$ bedeutet.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2+4x},\ x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $P(4|1)$.

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(4|1)$ berührt.

e) Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1)

Die Zufallsgröße $X$ hat einen Erwartungswert, der mit ihrer Standardabweichung übereinstimmt.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch $P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Es gilt $P(X = 0) = P(X = 1)$.

wahr

falsch

Für ein Spiel stehen die beiden abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln genau zwei Kugeln entnommen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A gezogen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, $0{,}7$ beträgt.

(3)

In Urne $B$ wird die Anzahl der schwarzen Kugeln angepasst. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Spielen genau eine schwarze Kugel zu ziehen, von $0{,}7$ auf $0{,}5$.

Ermitteln Sie, wie viele schwarze Kugeln Urne $B$ nun enthält.

Für ein Spiel stehen die beiden abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln genau zwei Kugeln entnommen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A gezogen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(2)

Man spielt das Spiel mehrere Male.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis $E$ an, für das $$P(E) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2$$ zutrifft.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ durch die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a\cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}, \; a \neq 0.$$

In Abbildung 1 sind die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$ dargestellt.

a)

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ der jeweilige Graph zuzuordnen ist. [1 Punkt]

Graph I: $a =$

Graph II: $a =$

b)

(1) Ermitteln Sie rechnerisch für den Graphen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ die Koordinaten der lokalen Extrempunkte sowie deren Art. [6 Punkte]

(2) Es existieren zwei Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, deren Differenz $1$ beträgt, sodass der Graph der Funktion $f_{0{,}5}$ in den Punkten $(s \mid f_{0{,}5}(s))$ und $(t \mid f_{0{,}5}(t))$ dieselbe Steigung aufweist.

Bestimmen Sie $s$ und $t$, gerundet auf zwei Nachkommastellen, und geben Sie an, welche Steigung der Graph von $f_{0{,}5}$ an diesen Stellen hat. [3 Punkte]

$s =$

$t =$

c)

(1) Zeigen Sie, dass man den Graphen der Funktion $f_{-a}$ erhält, indem man den Graphen von $f_a$ an der y-Achse spiegelt. [2 Punkte]

(2) Die Funktion $\tilde{f}$ ist gegeben durch $\tilde{f}(x) = 2 \cdot f_1(x) - 1, \; x \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob $\tilde{f}$ ein Mitglied der Schar der Funktionen $f_a$ ist, und geben Sie gegebenenfalls den passenden Wert von $a$ an. [2 Punkte]

Ja

Nein

d)

Für jedes $a \in \mathbb{R}, \; a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$.

[Hinweis: Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

$d_a$ ist der Abstand des Wendepunktes $W_a$ vom Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der y-Achse.

(1) Berechnen Sie sämtliche Werte des Parameters $a$, für die $d_a = 5$ gilt. [4 Punkte]

(2) (i) Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes verändert, wenn $a$ größer wird. [3 Punkte]

(2) (ii) Für $a > 0$ nähert sich der Abstand $d_a$ einem festen Wert, wenn $a$ immer größer wird. Geben Sie diesen Wert an. [1 Punkt]

Der Graph der Funktion $h_a$ ist die Tangente an den Graphen der Funktion $f_a$ im Wendepunkt $W_a$, im Folgenden Wendetangente genannt.

(3) Ermitteln Sie rechnerisch eine von $a$ abhängige Gleichung der Funktion $h_a$. [3 Punkte]

Im Folgenden gilt $a = -2$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt. Es gilt $h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2-8}{e^2}$ und $g_{-2}(x) = -4x + 1$. Die beiden Tangenten schließen zusammen mit dem Graphen von $f_{-2}$ eine Fläche ein.

(4) Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser eingeschlossenen Fläche. [5 Punkte]

(5) Gegeben ist die Gleichung $\int_{z}^{z+3{,}5} (h_{-2}(x) - f_{-2}(x))\,dx = 0$. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung und erläutern Sie anhand von Abbildung 2, was diese Lösung geometrisch bedeutet. [4 Punkte]

e)

Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ die gleiche Steigung haben. In Abbildung 3 sind die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$ dargestellt. Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Er entsteht dadurch, dass der Graph von $f_1$ nacheinander in x-Richtung und in y-Richtung verschoben wird.

Ermitteln Sie rechnerisch, mit welchen Verschiebungen der Graph von $f_1$ in den Graphen von $k$ übergeht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an. [6 Punkte]

[Hinweis: Eine Vereinfachung des Funktionsterms von $k$ ist nicht erforderlich.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über das Jahr hinweg genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Die Arbeiterinnen heißen vereinfachend „Bienen“.

Am 4. März schlüpften die ersten jungen Bienen.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000} t^4 + \frac{1}{7\,000} t^3 - \frac{3}{11} t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a)

(1) Geben Sie die Zuwachsrate zum Ende des 22. April ($t = 50$) an. [2 Punkte]

Bienen pro Tag

(2) Ermitteln Sie, wann die Zuwachsrate jeweils am stärksten zunimmt und wann sie am stärksten abnimmt. [3 Punkte]

(3) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. [6 Punkte]

[Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20\,\text{s}$).]

(4) Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht nötig.] Ermitteln Sie diese Zahl. [1 Punkt]

Bienen

(5) Bestimmen Sie, wie viele Bienen vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$) im Mittel pro Tag schlüpfen. [2 Punkte]

Bienen pro Tag

b)

Wird ein Bienenvolk zu groß oder hat es zu wenig Platz für sein Nest, so teilt es sich auf und sucht nach neuen Nistplätzen – die Bienen schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker versuchen dies zu vermeiden.

Ein Imker verwendet zwei verschiedene Ansätze, um vorherzusagen, wann die Gefahr besteht, dass die Bienen schwärmen („Schwarmzeit“):

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

(1) Ermitteln Sie für Ansatz A den Zeitraum, in dem ein Schwärmen der Bienen droht. [4 Punkte]

Von $t_1 \approx$

bis $t_2 \approx$

(2) Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der man Anfang und Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B berechnen kann. Bestimmen Sie anschließend die Schwarmzeit nach Ansatz B. [5 Punkte]

Von $t_3 \approx$

bis $t_4 \approx$

(3) Vergleichen Sie anhand Ihrer Ergebnisse aus (1) und (2) die Schwarmzeiten beider Ansätze. [1 Punkt]

c)

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \leq 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben. Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \leq t \leq 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000} t^4 - \frac{1}{30\,000} t^3 - \frac{5}{18} t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

(1) Begründen Sie, dass sich für $35 \leq t \leq 216$ die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt. [2 Punkte]

(2) Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise an, zu welchem Zeitpunkt das Bienenvolk die größte Bienenanzahl hat, und begründen Sie Ihre Angabe. [4 Punkte]

(3) Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben. Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind. [4 Punkte]

d)

Bienen, die etwa ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), müssen im Herbst und Winter kaum arbeiten und haben deshalb eine sehr viel längere Lebenserwartung. Viele dieser Bienen überleben – gemeinsam mit ihrer Königin – den Winter und versorgen im nächsten Frühjahr die erste Brut, bevor sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Eine Funktion $h$ soll die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober modellieren. Für $t \geq 216$ soll $h$ nur positive Funktionswerte annehmen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich auf lange Sicht dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit $l(t) = 20$ annähern.

(1) Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \geq 216$$ für eine Funktion $h$, die die genannten Anforderungen erfüllt. Geben Sie an, welche Vorzeichen $a$ und $b$ haben müssen, und begründen Sie, dass $h$ mit dieser Vorzeichenwahl alle genannten Anforderungen erfüllt. [3 Punkte]

Vorzeichen von $a$:

Vorzeichen von $b$:

(2) Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass der Graph von $h$ bei $t = 216$ ohne Knick an den Graphen von $g$ anschließt. [3 Punkte]

$a \approx$

$b \approx$

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfacht als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem mit folgenden Punkten:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht für einen Meter. Die Leinwand des Kinos liegt auf der Wandfläche $AEFB$.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an.

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$. Sie beschreibt vereinfacht, wo sich die Sitze im Kino befinden.

(1) Begründen Sie, weshalb $$E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ mit } r, s \in \mathbb{R}$$ eine Parameterform der Ebene $E_{JKL}$ ist.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch eine Ebenengleichung der Ebene $E_{JKL}$ in Koordinatenform. [Mögliche Lösung: $E_{JKL}: 2x_2 - 6x_3 = 10$]

(3) Berechnen Sie die Länge der Kante $\overline{JK}$.

Im Kinosaal befinden sich zwei Projektoren für eine Lasershow, welche im Modell durch die beiden Punkte $G$ und $H$ dargestellt werden.

c)

Vom Punkt $H$ aus werden Laserstrahlen in Richtung von Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ 3b \\ b \end{pmatrix}$, mit $a, b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$, $b \le 0$, gestrahlt.

(1) Zeigen Sie, dass die Laserstrahlen mit dieser Bedingung in der Ebene $E_{\text{Laser}}: x_2 - 3x_3 = -4$ verlaufen.

(2) Begründen Sie, dass die Ebenen $E_{JKL}$ und $E_{\text{Laser}}$ parallel zueinander liegen und nicht identisch sind.

(3) Bestimmen Sie rechnerisch den Abstand der Ebene $E_{JKL}$ zur Ebene $E_{\text{Laser}}$.

(4) Laserstrahlen werden in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, ausgestrahlt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie $a$ gewählt werden muss, damit ein Laserstrahl entsteht, welcher mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ bildet.

d)

Vom Punkt $G$ aus werden Laserstrahlen entlang der Geraden $$g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} k - 15 \\ -23 \\ \sqrt{4 - k^2} - 4 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R},\, k \in \mathbb{R} \text{ mit } -2 \le k \le 2$$ ausgestrahlt.

Diese Laserstrahlen treffen auf die Wandfläche $AEFB$, mit $E_{AEFB}: x_2 = 0$. [Nachweis nicht erforderlich]

(1) Bestimmen Sie die von $k$ abhängigen Koordinaten der Punkte $S_k$, in welchen die Laserstrahlen auf die Wandfläche $AEFB$ treffen.

Zeigen Sie, dass der Abstand der Punkte $S_k$ zum Punkt $M(5|0|5)$ unabhängig von $k$ ist.

(2) Die Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen auf die Leinwand treffen, bilden für $-2 \le k \le 2$ eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass es sich um einen nach unten geöffneten Halbkreis handelt.

Aufgabe B4 – E-Scooter

Zugelassene Hilfsmittel: CAS, Formelsammlung, Wörterbücher.

a)

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen E-Scooter werden privat genutzt. Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

Tage

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers beträgt die mittlere Nutzungsdauer 120 Tage. Ermitteln Sie, welchen Anteil seiner Produktion dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

%

b)

Alle Personen, die gelegentlich einen E-Scooter benutzen, werden in dieser Aufgabe als E-Scooter-Nutzende bezeichnet. Vereinfachend wird im Folgenden davon ausgegangen, dass die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig ausgewählten Personengruppe angibt, binomialverteilt ist. E-Scooter werden vor allem in Großstädten benutzt. In einer deutschen Großstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 %, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt. In dieser Stadt werden 200 zufällig ausgewählte Personen befragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter benutzen.

(1)

Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: E1: Weniger als 17 der befragten Personen sind E-Scooter-Nutzende.

E2: Die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden weicht um mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße X ab.

(2)

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X für $n=200$ und $p=0{,}1$.

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung einen möglichen Wert für $k$ so, dass $P_{200;0,1}(k\le X\le k+2)\approx 0{,}15$ ist, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(3)

Die Befragung wird von vier Studierenden durchgeführt. Hierzu wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen von jeweils 50 Personen aufgeteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens zwei der vier Gruppen mindestens 5 Personen E-Scooter-Nutzende sind.

c)

Um auf sich aufmerksam zu machen und um den Anteil der E-Scooter-Nutzenden zu erhöhen, lässt ein Hersteller von E-Scootern in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden erhält insgesamt 20 Gutscheine, die nach dem folgenden Verfahren verteilt werden: Jeder der acht Freunde schreibt seinen Namen auf einen Zettel. Alle Zettel kommen in eine Lostrommel, aus der 20-mal mit Zurücklegen gezogen wird. Nach jedem Zug bekommt derjenige, dessen Name gezogen wurde, einen Gutschein. Bei diesem Verfahren kann jeder der Freunde also entweder gar keinen oder bis zu 20 Gutscheine erhalten. Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“ Genau einer der folgenden Ansätze kann zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E genutzt werden.

I

$P(E)=20\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{19}$

II

$P(E)=20\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{19}$

III

$P(E)=8\cdot\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{7}$

IV

$P(E)=8\cdot\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{7}$

d)

Die in c) beschriebene Werbekampagne soll auch in einer anderen deutschen Großstadt durchgeführt werden, in der die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, zurzeit nur 6 % beträgt. Nach der Durchführung der Werbekampagne soll durch eine Befragung von 150 zufällig ausgewählten Personen dieser Stadt getestet werden, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p>0{,}06$ und damit von einem Erfolg der Kampagne ausgeht, soll höchstens 5 % betragen. Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der 5 %-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p>0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie das gesuchte Intervall.

(2)

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p>0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens 20 %. Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06<p\le 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen.

Aufgabenstellung:

Wenn Muskeln stark beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man den Laktatgehalt im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Beim Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19)\cdot \mathrm{e}^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten. Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1) Ermitteln Sie den Laktatwert zu Beginn und am Ende des Laktatstufentests.

(2) Ermitteln Sie, wie groß die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach dem Beginn ist.

(3) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert minimal ist, und geben Sie diesen Wert an.

(4) In einem Zeitraum von fünf Minuten beträgt die mittlere Zuwachsrate des Laktatwerts 0,1 mmol/l pro Minute. Bestimmen Sie diesen Zeitraum.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0\mid f(0))$ und $E(45\mid f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente.

b)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren A die IAS erreicht ist.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 2).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$, und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6\mid 0{,}7)$.]

(2) Bestimmen Sie eine Zielfunktion, mit deren Hilfe der Abstand eines Punktes auf dem Graphen von $f$ zum Punkt $T$ berechnet werden kann, und ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren B die IAS erreicht ist.