Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors nützlich: Keine einzelne Person kennt ihn, sondern er lässt sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den Code bestimmen, indem sie diese in ein Computersystem eintragen, das mit den Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code drei Ziffern hat.

a)

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Der geheime Code ergibt sich aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(1)

Ins System werden die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ eingegeben. Berechnen Sie den geheimen Code.

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Als Teilgeheimnis erhält ein vierter Mitarbeitender den Punkt $D(12|12|5)$. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der sich von $C$ und $S$ unterscheidet, sodass das System den geheimen Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermitteln kann.

b)

Für ein $a \in \mathbb{R}$ ist die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$, gegeben. Die Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) mit der Geraden $h_a$ bilden den geheimen Code.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $g$ und $h_a$ sich im Punkt $S$ schneiden.

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnis jeweils die Koordinaten eines Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_4$ liegt und von $S$ verschieden ist.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist und sich von $(-7|8|-1)$ und $S$ unterscheidet.