Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Haupttermin · GTR

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(1) Unter den nachstehenden Graphen I, II und III ist einer der Graph von $f$.

Geben Sie an, welche Graphen dafür nicht in Betracht kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der x-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der oben stehenden Abbildung 1 ablesen.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

b)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x+2) \cdot e^{-x+4}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

(1)

Es gibt für die Funktion $f$ genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle $f$ ihr Extremum hat.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

$x =$

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die genauen $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung

$$f_a(x) = (x + 2)(2x + a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ gegeben.

(1)

Geben Sie die Stellen an, an denen die Funktion $f_1$ mit $f_1(x) = (x + 2)(2x + 1)e^x$ den Wert null annimmt.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$.

Begründen Sie, dass für den dargestellten Graphen in Abbildung 3 $a = 0$ gilt.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

d) Betrachtet werden die Punkte $A$ und $B$ mit $A(3|4|2)$ und $B(8|-11|12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ -6{,}5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, auf der die Punkte $A$ und $B$ liegen.

(2)

Weisen Sie nach, dass $A$ ein Punkt der Geraden $g$ ist. Untersuchen Sie, wie die Geraden $g$ und $h$ zueinander liegen.

(3)

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, welche die Gerade $g$ in $A$ schneidet.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

e) Betrachtet werden die Punkte $A(5|0|z)$ und $B(2|4|5)$ sowie der Koordinatenursprung $O$.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $z$, bei dem der Abstand zwischen $A$ und $B$ gleich $5$ ist.

(2)

Ermitteln Sie den Wert von $z$, für den das Dreieck $OAB$ bei $B$ einen rechten Winkel besitzt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(1)

Einer der unten abgebildeten Graphen I, II und III ist der Graph von $f$.

Geben Sie an, welche Graphen dafür nicht in Betracht kommen, und begründen Sie Ihre Antwort.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der oben stehenden Abbildung 1 ablesen.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot e^{-x + 4}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Es gibt für $f$ genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle $f$ ihr Extremum besitzt.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die genauen y-Werte kommt es dabei nicht an.

[3 + 2 Punkte]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

c) Gegeben ist für jedes $a \in \mathbb{R}$ durch die Gleichung $$f_a(x) = (x + 2)(2x + a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_a$.

(1)

Geben Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f_1$ mit $f_1(x) = (x + 2)(2x + 1)e^x$ an.

(2)

In Abbildung 3 ist der Graph von $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$ dargestellt.

Begründen Sie, weshalb für den in Abbildung 3 gezeigten Graphen $a = 0$ gilt.

(3)

Ermitteln Sie, bei welchem Wert von $a$ der Graph der Funktion $f_a$ durch den Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ verläuft.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

d) Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}5$.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ verläuft symmetrisch um den Erwartungswert.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ gilt näherungsweise $2\,\%$.

Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

e) Nachfolgend werden immer zwei Würfel zusammen geworfen. Die Seiten jedes Würfels tragen die Zahlen 1 bis 6.

(1)

Beide Würfel werden ein einziges Mal geworfen.

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ auftritt, $\frac{25}{36}$ beträgt.

(2)

Die beiden Würfel werden 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine „6“ auftritt.

Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zeigt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(1) Einer der unten abgebildeten Graphen I, II und III ist der Graph von $f$.

Geben Sie diejenigen Graphen an, die dafür nicht in Betracht kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie aus der oben stehenden Abbildung 1 ablesen.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot e^{-x+4},\ x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie diese Stelle für $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 2.

Hinweis: Auf die Größe der $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

c) Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird mit der Gleichung

$$f_a(x) = (x + 2)(2x + a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

(1)

Geben Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f_1$ mit $f_1(x) = (x + 2)(2x + 1)e^x$ an.

(2)

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$.

Begründen Sie, dass für den in Abbildung 3 dargestellten Graphen $a = 0$ gelten muss.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

d) Betrachtet werden die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A(3|4|2)$ und $B(8|-11|12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ -6{,}5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie eine Gleichung für die Gerade $h$ an, auf der die Punkte $A$ und $B$ liegen.

(2)

Weisen Sie nach, dass $A$ ein Punkt der Geraden $g$ ist. Untersuchen Sie, wie die Geraden $g$ und $h$ zueinander liegen.

(3)

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, die $g$ in $A$ schneidet.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

e) Nachfolgend werden immer zwei Würfel zusammen geworfen. Die Seiten jedes dieser Würfel tragen die Zahlen von 1 bis 6.

(1)

Beide Würfel werden ein Mal geworfen. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine „6“ erscheint, $\frac{25}{36}$ beträgt.

(2)

Das Würfelpaar wird 36-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, bei wie vielen Würfen keine „6“ erscheint.

Begründen Sie für jede der nachstehenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

(1)

Begründen Sie, weshalb $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ darstellt. [1 Punkt]

(2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}$. [2 Punkte]

(3)

Untersuchen Sie die Funktion $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. [Kontrolllösung: An der Stelle $x = 2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor.] [3 Punkte]

(4)

Ermitteln Sie diejenigen $x \in \mathbb{R}$, für die $f(x) < 0{,}1$ gilt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Der Punkt $P_u(u \mid f(u))$ liegt beliebig auf dem Graphen von $f$. Mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ bildet $P_u$ das Dreieck $NF_uP_u$.

(1)

Zeichnen Sie das Dreieck $NF_uP_u$ in Abbildung 1 ein, falls $P_u$ der Hochpunkt des Graphen von $f$ ist. [1 Punkt]

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus b) (1). [2 Punkte]

(3)

Untersuchen Sie, ob sich $P_u$ auf dem Graphen von $f$ so wählen lässt, dass das Dreieck $NF_uP_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ besitzt. [4 Punkte]

Teilaufgabe c)

Betrachtet wird die Funktion $t$ mit $t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ den Graphen von $f$ tangiert. [4 Punkte]

(2)

Die Tangente aus c) (1) schneidet beide Koordinatenachsen; diese Schnittpunkte bilden mit dem Ursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck.

Berechnen Sie dessen Umfang. [4 Punkte]

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente aus c) (1) und die x-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2). Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$. [3 Punkte]

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ trägt die Bezeichnung „1. Winkelhalbierende“. Auf dem Graphen von $f$ existiert genau ein Punkt $R$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden verläuft.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_R$. [Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.] [4 Punkte]

(2)

Die Gerade $y = -x$ heißt „2. Winkelhalbierende“.

Bestimmen Sie den Punkt, in dem sich die Tangente $t_R$ und die 2. Winkelhalbierende schneiden. [2 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand der Tangente $t_R$ zur 1. Winkelhalbierenden. [2 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

c) (3)

Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die in c) (1) angegebene Tangente $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$ und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie die Größe des Flächeninhalts von $F$.

FE

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

a) (1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass $(12 \mid 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$, welche die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ enthält.

$y =$

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu $g$ parallele Gerade ein, die im Bereich $0 \leq x \leq 8$ genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von $f$ besitzt.

a) (3)

Für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ bilden die Punkte $O(0 \mid 0)$, $B(b \mid 0)$ und $C(b \mid f(b))$ ein Dreieck $OBC$.

Ermitteln Sie den Wert von $b$, bei dem das Dreieck $OBC$ seinen größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

b) (1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ ergibt.

b) (2)

Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt.

b) (4)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0;16]$, an denen der vertikale Abstand zwischen den Graphen der Funktionen $f$ und $h_3$ $250$ Längeneinheiten beträgt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

b) (3)

Die Gleichung $f(x)=h_{3{,}75}(x)$ besitzt genau die drei Lösungen $x_1=0$, $x_2=6$ und $x_3=10$; zudem gilt $\int_{0}^{10} (f(x)-h_{3{,}75}(x))\,\mathrm{d}x=0$.

Erläutern Sie, was diese Aussage geometrisch für die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ bedeutet.

Ein Unternehmen bewahrt Glyzerin in einem Tank auf. Für $0 \leq x \leq 20$ wird die momentane Änderungsrate des Tankinhalts durch die Funktion $f$ modelliert. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank 1200 kg Glyzerin.

c) (1)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $(4 \mid 240)$.

Interpretieren Sie die Koordinaten dieses Punktes im Kontext der Aufgabe.

c) (2)

Beurteilen Sie diese Aussage: „Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich die größte Menge Glyzerin im Tank.“

c) (3)

Bestimmen Sie, um wie viel der Tankinhalt zwischen acht und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn zunimmt.

kg

c) (4)

Berechnen Sie die Glyzerinmenge, die sich 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet.

kg

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, etwa zum Öffnen eines Tresors, keiner einzelnen Person vollständig bekannt ist, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren zum Beispiel geometrisch umsetzen. Dabei ermitteln einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code aus drei Ziffern besteht.

Teilaufgabe a)

Im Computersystem ist die Gerade $g$ mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},\ t \in \mathbb{R}$ hinterlegt.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten genau eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(1)

Man gibt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ in das System ein.

Berechnen Sie den geheimen Code. [5 Punkte]

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Eine vierte mitarbeitende Person bekommt den Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten von $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden. [2 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der sich von $C$ und $S$ unterscheidet, sodass der geheime Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermittelt werden kann. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Gegeben ist für ein $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix},\ s \in \mathbb{R}$. Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) und der Geraden $h_a$.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $S$ der Schnittpunkt von $g$ und $h_a$ ist. [2 Punkte]

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnis jeweils die Koordinaten eines Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_4$ liegt und von $S$ verschieden ist.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der sich von $(-7|8|-1)$ und $S$ unterscheidet und als Teilgeheimnis geeignet ist. [1 Punkt]

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, etwa zum Öffnen eines Tresors, keiner einzelnen Person vollständig bekannt ist, sondern nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein Unternehmen kann ein solches Verfahren zum Beispiel geometrisch umsetzen. Dabei ermitteln einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung sei im Weiteren stets vorausgesetzt, dass der gesuchte geheime Code aus drei Ziffern besteht.

c) Ein weiteres Unternehmen legt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$ fest.

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, und zwar $I(4|3|2)$, $J(8|6|-1)$ und $K(6|5|1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden.

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code.

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $L$.

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. In diesem Jahr betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird vorausgesetzt, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$P(E1) = P(X \le 160) \approx$

$P(E2) = P(X \ge 200) \approx$

$P(E3) \approx$

(2)

Im Weiteren sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \le k \le 250$.

(i)

Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge k)$ dafür, dass wenigstens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.

$P(X \ge 165) \approx$

(ii)

Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit verhält, wenn man den Wert von $k$ variiert.

(iii)

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll höchstens 60 % betragen. Ermitteln Sie, welchen Mindestwert $k$ dafür haben muss.

$k \ge$

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. In diesem Jahr betrug der relative Anteil der bestandenen Prüfungen ungefähr 70 %.

b) Die Fahrschulkette will 2022 in Soest eine neue Filiale eröffnen. Die Zentrale fordert hinsichtlich der Ausbildungsqualität, dass im Durchschnitt mindestens $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest rechnet man damit, dass im Jahr 2022 $200$ praktische Prüfungen stattfinden. Sind davon mindestens $140$ bestanden, geht die Zentrale davon aus, dass auch in Soest dank der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden wird. Modellhaft wird angenommen, dass die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter den $200$ erwarteten Prüfungen binomialverteilt ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70\,\%$ bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit jeder Prüfung nur $65\,\%$ beträgt. [3 Punkte]

(2)

Die Abbildung stellt das Histogramm zu $P_{200;0{,}7}(Y = k)$ dar, also für den Fall $p = 0{,}7$.

Werden in Soest von den $200$ erwarteten praktischen Prüfungen z. B. nur $130$ bestanden, schließt die Zentrale daraus, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $70\,\%$ bestanden wird.

Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb der Zentrale mit dieser Einschätzung ein Irrtum unterlaufen sein könnte. [3 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer Holzbrücke mit drei Teilen für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts kann man durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschreiben.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen dabei den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Wirklichkeit für einen Dezimeter.

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie hoch und wie lang die Brücke ist (vgl. Abbildung).

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.]

c)

Geben Sie an, was der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang bedeutet, und bestimmen Sie seinen Wert.

d)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die man beim Befahren der Brücke bewältigen muss.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer Holzbrücke mit drei Teilen für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts kann man durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschreiben.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen dabei den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Wirklichkeit für einen Dezimeter.

a)

Begründen Sie, warum die obere Randlinie symmetrisch bezüglich der $y$-Achse verläuft.

e)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

In der Abbildung bezeichnet $s$ die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $s = 0{,}1\ \mathrm{dm}$ gilt.

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ für die Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer Holzbrücke mit drei Teilen für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren und ebenso unter ihr hindurchfahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts kann man durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschreiben.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen dabei den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Wirklichkeit für einen Dezimeter.

g)

Betrachtet wird die Brücke mit $a = 1{,}25$. Ihre drei Bauteile bestehen aus massivem Holz, wobei $1\ \mathrm{dm}^3$ dieses Holzes $800$ Gramm wiegt. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\ \mathrm{dm}$.

Bestimmen Sie die Nullstellen von $q_{1{,}25}$ und ermitteln Sie anschließend die Masse des mittleren Bauteils.

$x_1 =$

, $x_2 =$