Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Es sei $f$ eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion mit $f(x)=x^4-k\cdot x^2$, wobei $k$ für eine positive reelle Zahl steht. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Zeigen Sie, dass die erste Ableitungsfunktion von $f$ durch $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ gegeben ist.

(2)

Beide Tiefpunkte des Graphen von $f$ liegen bei der $y$-Koordinate $-1$.

Ermitteln Sie, welchen Wert $k$ annimmt.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15$, $x \in \mathbb{R}$. Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Interpretieren Sie die Gleichung $F(5) - F(1) = 0$ mit Blick auf den Graphen von $f$. (2 Punkte)

(2)

Berechnen Sie $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$. (3 Punkte)

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^{-x+4}$ und $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Funktion $f$ hat genau zwei Extremstellen.

Ermitteln Sie die beiden Stellen, an denen $f$ ein Extremum annimmt.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht überprüft werden.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (x^2 + 2x) \cdot e^{-x+4}$ und $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Skizzieren Sie den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ in Abbildung 3.

Hinweis: Auf die genauen Größen der y-Werte kommt es dabei nicht an.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung

$$f_a(x) = \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für $a = 0$.

(1)

Nur für einen einzigen Wert von $a$ hat die Funktion $f_a$ genau eine Nullstelle. Ermitteln Sie diesen Wert von $a$.

$a =$

(2)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die der Punkt $P(3 \mid 90e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a \in$

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n = 100$ und $p$. Der Erwartungswert von $X$ beträgt $50$.

(1)

Berechnen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ gilt näherungsweise $2\,\%$.

Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$.

Um an einem Gewinnspiel teilzunehmen, muss man $3$ Euro einsetzen. Die Zufallsgröße $A$ gibt die Auszahlung in Euro an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$ ist in Abbildung 5 dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass sich für $p$ der Wert $\frac{1}{6}$ ergibt.

(2)

Wird das Spiel oft wiederholt, gleichen sich Einsätze und Auszahlungen langfristig erwartungsgemäß aus.

Berechnen Sie $b$.

(3)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich das Gewinnspiel mit einem Behälter und roten, grünen sowie blauen Kugeln umsetzen ließe.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $x = 1$ die einzige Nullstelle der Funktion $f$ darstellt. [1 Punkt]

a) (2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}$. [2 Punkte]

a) (3)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

b) (1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt. [4 Punkte]

b) (2)

Zwischen den Schnittpunkten der Tangente aus b) (1) mit den beiden Koordinatenachsen verläuft eine Strecke. Berechnen Sie deren Länge. [3 Punkte]

Teilaufgabe c)

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$. Die $y$-Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

$Q_u(u \mid f(u)),\ 0 < u < 2$, ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_u$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse hat. [2 Punkte]

c) (3)

Untersuchen Sie, um wie viel Prozent sich der Wert aus (2) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_u(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird. [5 Punkte]

%

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau eine Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Eine mit vier Nachkommastellen angegebene näherungsweise Gleichung für $t_R$ ist $$y = x - 0{,}3824.$$ Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_R$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. [4 Punkte]

Teilaufgabe e)

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a$, die gegeben ist durch $$h_a(x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{-x},\ x \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R}.$$ Ohne Nachweis kann verwendet werden: $$h_a''(x) = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{-x}.$$ Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a$.

e) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes $W_a$. [Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich.] [4 Punkte]

e) (2)

$t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a$. Eine Gleichung für $t_a$ ist $$y = -10 \cdot e^{-a-2} \cdot x + 10 \cdot (a + 4) \cdot e^{-a-2}.$$ Für $a \neq -4$ begrenzt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks her. [Mögliche Lösung: $A_D(a) = 5 \cdot (a + 4)^2 \cdot e^{-a-2}$] [4 Punkte]

e) (3)

Ermitteln Sie einen Wert von $a$, für den die Dreiecksfläche die Größe $10\text{ FE}$ hat. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b (3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$ und die $x$-Achse gemeinsam eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

b)(3)

Bestimmen Sie die Größe des Flächeninhalts von $F$. [3 Punkte]

Teilaufgabe c (1)

Durch den Hochpunkt $H(2|f(2))$ des Graphen von $f$ verläuft die Gerade $g$ parallel zur $x$-Achse. Zusammen mit der $y$-Achse und dem Graphen von $f$ begrenzt $g$ eine Fläche (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

c)(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. [3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\, a > 0 \text{ sowie}$$$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3 - \frac{3}{5}x.$$ Abbildung 1 stellt den Graphen von $g_1$ dar.

Teilaufgabe a

a) (1)

Berechnen Sie für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten des Extrempunktes.

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 den Graphen von $f_1$ ein.

a) (2)

Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ über dem Graphen von $g_1$ liegt und für welche darunter. Begründen Sie Ihre Angabe.

a) (3)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründen Sie Ihre Angabe ausgehend von I und II.

Teilaufgabe b

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \,\Big|\, \frac{5}{2a^3}\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \,\Big|\, g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$, sie wird durch die Gleichung $t_{g_a}: y = \frac{5-3a^2}{5a^2}x - \frac{5}{2a^3}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_a$ bezeichnet.

b) (1)

Weisen Sie nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt.

b) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $x = \frac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_a}$. Untersuchen Sie, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander verlaufen.

Teilaufgabe c

Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\text{ m}$ breit.

Die Profillinie wird für $0 \leq x \leq 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt.

Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\text{ m}$ in der Realität.

c) (1)

Bestimmen Sie in Prozent die maximale Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen.

%

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0, c > 0$ beschrieben werden (mit $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$).

c) (3)

Untersuchen Sie, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\text{ m}$ beträgt.

Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\text{ m}$ hat.

m

c) Abbildung 2 stellt schematisch die Profillinie im Längsschnitt einer Skipiste in einer Skihalle dar. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall 30 m breit.

Modellhaft wird die Profillinie für $0 \le x \le 41{,}5$ vom Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

In dem zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht dabei für 10 m in der Wirklichkeit.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Teil der Piste grau dar; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Für $0 \le x \le 5$ wird der Untergrund unter dem Schnee durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Bereich der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, 60 cm hoch liegt.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0$, $c > 0$ beschrieben werden.

(2)

Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$.

[Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$]

c) Abbildung 2 stellt schematisch die Profillinie im Längsschnitt einer Skipiste in einer Skihalle dar. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall 30 m breit.

Modellhaft wird die Profillinie für $0 \le x \le 41{,}5$ vom Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

In dem zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht dabei für 10 m in der Wirklichkeit.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Teil der Piste grau dar; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Für $0 \le x \le 5$ wird der Untergrund unter dem Schnee durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Bereich der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, 60 cm hoch liegt.

(4) Bestimmen Sie, welches Volumen die Schneeschicht auf der kompletten Piste insgesamt hat. [5 Punkte]

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies kann zum Beispiel bei einem geheimen Code für einen Tresor sinnvoll sein, den nicht eine einzelne Person kennen soll, sondern der nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen etwa geometrisch umsetzen. Dabei können die Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der zu bestimmende geheime Code stets dreistellig ist.

a)

(1) Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},\ t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Jeweils einer von drei eingeweihten Mitarbeitern kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines dieser Punkte. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(i)

Man gibt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ in das System ein.

Berechnen Sie den geheimen Code.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Einem vierten Mitarbeiter wird der Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis anvertraut. Auch $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code dennoch nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(2) Das System verarbeitet nicht nur Koordinaten von Ebenenpunkten, sondern auch weitere Angaben zur Ebene, etwa die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H$.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Geschäftsführerin den geheimen Code schon gemeinsam mit irgendeinem der vier eingeweihten Mitarbeiter ermitteln kann.

(ii)

Berechnen Sie einen Normalenvektor der Ebene $H$.

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies kann zum Beispiel bei einem geheimen Code für einen Tresor sinnvoll sein, den nicht eine einzelne Person kennen soll, sondern der nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen etwa geometrisch umsetzen. Dabei können die Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der zu bestimmende geheime Code stets dreistellig ist.

Teilaufgabe b)

Der geheime Code eines weiteren Unternehmens besteht aus den ersten drei Ziffern der ungerundeten Dezimaldarstellung des Volumens einer quadratischen Pyramide. Die quadratische Grundfläche dieser Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 + 4x_3 = 9$. Die Geschäftsführerin kennt die Koordinaten der Pyramidenspitze, nämlich $(1{,}5 \mid 3{,}5 \mid 6{,}5)$. Jede/r der Mitarbeitenden kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten genau eines Eckpunkts der Grundfläche.

Die Geschäftsführerin und drei Mitarbeitende geben ihre Teilgeheimnisse $(1 \mid 1 \mid 3)$, $(1 \mid 6 \mid 3)$, $(5 \mid 1 \mid 6)$ und $(1{,}5 \mid 3{,}5 \mid 6{,}5)$ in das System ein.

Berechnen Sie den geheimen Code. [5 Punkte]

Teilaufgabe c)

Bei einem anderen Unternehmen besteht der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$.

Als Teilgeheimnisse kennen zwei Mitarbeitende mit $I(4 \mid 3 \mid 2)$ bzw. $J(8 \mid 6 \mid -1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Endpunkte der Basis $\overline{IJ}$. Ein dritter eingeweihter Mitarbeiter kennt mit $K(6 \mid 5 \mid 1)$ die Koordinaten der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code. [2 Punkte]

[Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707.]

Der Punkt $L(6 \mid 4 \mid 0)$ entsteht durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Ein anderer Mitarbeitender kann mit den Koordinaten von $L$ zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.

Einem weiteren Mitarbeitenden sollen die Koordinaten eines Punktes $P$ mitgeteilt werden, der ebenso wie $K$ und $L$ mit $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus $I$, $J$ und $P$ soll sich auf die oben beschriebene Weise der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(3)(i)

Beschreiben Sie, wo geeignete Punkte liegen. [2 Punkte]

(3)(ii)

Aus Sicherheitsgründen sollen sich die Koordinaten von $P$ von denen der Punkte $K$ und $L$ unterscheiden. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $P$. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Koordinaten von $P$ dürfen auch nicht ganzzahlig sein.]

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa $70\,\%$ dieser Prüfungen wurden in jenem Jahr bestanden.

Werden in einer Fahrschule $n$ praktische Prüfungen abgelegt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils die Zahl der bestandenen Prüfungen an. Vereinfachend soll gelten, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

a) Eine Fahrschulkette rechnet für ihren Standort Düsseldorf im Jahr 2021 mit insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen. Im Modell gilt: $X$ ist binomialverteilt mit $p = 0{,}7$.

(1)

Ermitteln Sie zu jedem der folgenden Ereignisse die zugehörige Wahrscheinlichkeit:

$E1$: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

$E2$: „Es werden mehr als $80\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

$E3$: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

(2)

(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 165 praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii) Ermitteln Sie den kleinsten Wert der Zahl $k$, für den die Wahrscheinlichkeit, mindestens $k$ praktische Prüfungen zu bestehen, höchstens $60\,\%$ beträgt.

c) Eine weitere Fahrschulkette erstellt für ihren Standort Bielefeld eine Prognose für 2021. Danach beträgt der Erwartungswert der bestandenen praktischen Fahrprüfungen 255, die Standardabweichung 6,18.

Berechnen Sie den Stichprobenumfang $n$ sowie die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße.

$p$:

$n$:

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa $70\,\%$ dieser Prüfungen wurden in jenem Jahr bestanden.

Werden in einer Fahrschule $n$ praktische Prüfungen abgelegt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils die Zahl der bestandenen Prüfungen an. Vereinfachend soll gelten, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

b) Die Fahrschulkette beabsichtigt, im Jahr 2022 in Soest eine Filiale zu eröffnen. Im Jahr 2022 sollen dort die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat erhebliche Summen in die digitale Ausstattung des Standorts gesteckt und erwartet, dass die Ausbildung dort so gut ist, dass im Schnitt mehr als 70 % der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Hinweis darauf zu erhalten, ob die Qualität diesen Erwartungen gerecht wird, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen beträgt höchstens 70 %“ auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

(1)

Erläutern Sie, bei welchem Fehler die Zentrale durch die gewählte Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit gering halten will.

[2 Punkte]

(2)

Die Zentrale rechnet für 2022 mit 200 abgelegten Prüfungen. Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel.

[4 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale die Ausbildungsqualität als nicht erwartungsgemäß einschätzt, obwohl die Ausbildung bewirkt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % bestanden wird.

[3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren, aber auch unter ihr hindurch.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen dabei den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

a)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie hoch und wie lang die Brücke ist.

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.]

[5 Punkte]

b)

Es geht um den Punkt der oberen Randlinie, an dem das mittlere Bauteil in das rechte übergeht.

Prüfen Sie, ob dieser Punkt genau in der Mitte der Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und ihrem rechten Endpunkt liegt.

[3 Punkte]

Ja

Nein

c)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die beim Überqueren der Brücke bewältigt werden muss.

[2 Punkte]

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

d)

Die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils ist in der Abbildung mit $s$ gekennzeichnet.

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $a$, für die diese Länge mindestens $0,1\text{ dm}$ beträgt.

e)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ zur Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind.

In der Planungsphase der Brückenform wurden für die obere Randlinie des linken Bauteils eine Funktion $g_l$ und für das rechte Bauteil eine Funktion $g_r$ erwogen. Auch mit diesen Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, welche der folgenden Eigenschaften für die Funktionen $g_l$ und $g_r$ gelten.

(1)

$-g_l(x) = g_r(-x)$ für $-2 \le x \le -1$

(2)

$g_l(x - 1) = g_r(-x + 1)$ für $-1 \le x \le 0$

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

f)

Es sei $a = 1{,}25$ für die Brücke. Alle drei Bauteile der Brücke bestehen aus massivem Holz, wobei $1\text{ dm}^3$ dieses Holzes $800\text{ Gramm}$ wiegt. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

Ermitteln Sie, welche Masse das mittlere Bauteil hat.

[5 Punkte]