Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit

$$f(x)=2x^3+8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In Abbildung 1 sind die Graphen von $f$, $g$ und $h$ zu sehen.

(1)

Geben Sie für eine der Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit Begründung an, welchem der Graphen $A$, $B$ oder $C$ sie zugeordnet werden kann.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit

$$f(x)=2x^3+8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In Abbildung 1 sind die Graphen von $f$, $g$ und $h$ zu sehen.

(2)

Berechnen Sie den Integralwert von $\int\limits_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$.

b) Die Funktion $f$ wird für einen Wert $a \in \mathbb{R}$ durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie den Wert des Parameters $a$, indem Sie die in der Abbildung erkennbaren Nullstellen von $f$ heranziehen.

b) Die Funktion $f$ wird für einen Wert $a \in \mathbb{R}$ durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

$F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x$, für die $F(3) = 1$ gilt.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion $F$.

c) Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades liegen folgende Informationen vor:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0\mid 4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1) Es wird der folgende Ansatz verwendet:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Die Gleichung der Funktion $f$ wird mit dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

(1)

Begründen Sie die zweite und dritte Gleichung des Gleichungssystems mithilfe der Informationen (i), (ii) bzw. (iii).

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

d) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der nachstehenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jede Entscheidung.

(1) Der Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ stimmen überein.

wahr

falsch

(2) Man kann die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge mit $P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3) Die Zufallsgröße $X$ kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

wahr

falsch

Für ein Glücksspiel stehen die beiden folgenden Urnen bereit, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel zieht man insgesamt genau zwei Kugeln, und zwar nach diesen Regeln:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A gezogen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine weitere Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, $0{,}7$ beträgt.

Für ein Glücksspiel stehen die beiden folgenden Urnen bereit, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel zieht man insgesamt genau zwei Kugeln, und zwar nach diesen Regeln:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A gezogen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die zuerst aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine weitere Kugel aus Urne A gezogen.

(2)

Man spielt das Spiel insgesamt $10$-mal.

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass in mindestens $9$ der Spiele jeweils genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Art und die Koordinaten der lokalen Extrempunkte am Graphen von $f$.

a) (2)

Die Funktion $f$ hat im Intervall $[0,5; 2]$ die Nullstelle $x_0$.

(i) Zeigen Sie, dass die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Nullstelle nicht ihren größten Wert annimmt.

(ii) Bestimmen Sie eine Stelle $z \neq x_0$, an welcher der Graph von $f$ dieselbe Steigung hat wie an der Stelle $x_0$.

Teilaufgabe c)

In Abbildung 3 sieht man neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ berührt.

c) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie alle Zahlen in dieser Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0,22x - 0,186$ ist eine Gleichung von $g$ mit auf weniger Nachkommastellen gerundeten Zahlen.]

(3) Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Länge nach oben verschoben, ergibt sich der Graph einer Funktion $k$, den $g$ ebenfalls als Tangente berührt. In Abbildung 4 sind die Graphen von $f$ und $k$ und die gemeinsame Tangente $g$ abgebildet.

c) (3) (i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist.

Zeichnen Sie diese Tangente in Abbildung 4 ein.

c) (3) (ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$, gerundet auf vier Nachkommastellen.

[Zur Kontrolle: Die $x$-Koordinate von $Q$ erfüllt $x_Q \approx 0,59$.]

c) (3) (iii)

Ermitteln Sie, mit welcher Verschiebung aus dem Graphen von $f$ der Graph von $k$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Den Funktionsterm müssen Sie nicht vereinfachen.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b)

b)(1)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das der Graph der Funktion $f$ mit der $x$-Achse begrenzt.

b)(2)

Betrachtet wird die Gleichung $\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Ihre beiden Lösungen $b_1$ und $b_2$ sind in Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b zu sehen.

(i)

Berechnen Sie $b_1$ und $b_2$.

(ii)

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, warum $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

(iii)

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{b_1}^{b_2} f(x)\,\mathrm{d}x$ an, ohne weitere Rechnungen durchzuführen.

Teilaufgabe c)(2)

Die Tangente $g$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2\mid f(2))$ besitzt näherungsweise die Gleichung $y = 0{,}2198x - 0{,}1861$ (zur Kontrolle aus c)(1): $y = 0{,}22x - 0{,}186$). Zwischen dem Graphen von $f$ und der Tangente $g$ liegt ein eingeschlossenes Flächenstück.

c)(2)(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks.

c)(2)(ii)

Bestimmen Sie, welcher prozentuale Anteil dieser Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt.

%

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde die Entwicklung im Jahr 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell außer Betracht. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

Dabei steht $t = 0$ für den Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ geht der 4. März in den 5. März über usw. Der 21. Oktober endet demnach bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen Werte nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April ($t=50$) ist.

(2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. abfällt.

(3)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20s$).

Teilaufgabe b)

Um vorauszusagen, wann die Bienen schwärmen könnten ("Schwarmzeit"), nutzt ein Imker zwei Ansätze: Nach Ansatz A besteht Schwarmgefahr, sobald die Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag liegt.

(1)

Ermitteln Sie, in welchem Zeitraum nach Ansatz A die Gefahr eines Schwärmens der Bienen besteht.

Teilaufgabe c)

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage ("Sommerbienen"). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t\le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t=216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben. Die Sterberate (in der Einheit "Bienen pro Tag") der Sommerbienen wird für $35\le t\le 216$ mit der Funktion $g$ mit $$g(t)=\frac{1}{800000}t^4-\frac{1}{30000}t^3-\frac{5}{18}t^2+59{,}25t-1733,\quad t\in \mathbb{R}$$ modelliert.

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35\le t\le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit "Bienen pro Tag") durch die Funktion $d$ mit $d(t)=f(t)-g(t)$ beschreiben lässt.

(2)

Geben Sie mithilfe des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise an, wann das Bienenvolk seine maximale Bienenanzahl erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde die Entwicklung im Jahr 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell außer Betracht. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

Dabei steht $t = 0$ für den Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ geht der 4. März in den 5. März über usw. Der 21. Oktober endet demnach bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen Werte nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Teilaufgabe a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,dt$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. (Eine Begründung ist nicht nötig.) Ermitteln Sie diese Zahl.

(5)

Teilaufgabe b)

Bei Ansatz B nimmt der Imker an, dass ein Schwärmen der Bienen möglich ist, sobald in den folgenden 21 Tagen mindestens 30000 Bienen schlüpfen. Im Beobachtungszeitraum besitzt die Gleichung $$\int_{t}^{t+21} f(x)\,dx = 30000$$ zwei Lösungen.

(2)

Bestimmen Sie diese beiden Lösungen. Interpretieren Sie die Gleichung samt ihren Lösungen im Zusammenhang der Teilaufgabe b).

Teilaufgabe c)

Am Ende des 7. April ($t=35$) sind schon 240 Bienen tot.

(3)

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t=216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t=181$) geschlüpft sind.

Aufgabenstellung:

Der größte Kinosaal eines Kinokomplexes fasst über 500 Sitzplätze und wird vereinfacht durch einen Quader $ABCDEFGH$ modelliert. In Abbildung 1 ist dieser Quader in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet, wobei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Im gewählten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Die Kinoleinwand befindet sich auf der Wandfläche $AEFB$.

b) (1)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht wiedergibt.

Bestimmen Sie für die Ebene $E_{JKL}$ eine Gleichung in Parameterform.

c) (1)

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen gesendet, deren Richtung durch die Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$ gegeben ist.

Zeigen Sie, dass alle diese Laserstrahlen parallel zur Ebene $E_{JKL}$ liegen.

c) (3)

Für $a = 1$ folgt ein von $H$ ausgehender Laserstrahl der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } t \in \mathbb{R}, t > 0.$$

Berechnen Sie den Punkt, in dem $h$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet, und interpretieren Sie dessen Lage im Sachzusammenhang.

d) (2)

Ein Laserstrahl geht von $G$ aus und verläuft entlang der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Für $a = 5$ ist der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ so eingestellt, dass er senkrecht zu $g$ verläuft.

Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden zueinander senkrechten Laserstrahlen sich innerhalb des Kinosaals schneiden.

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Der größte Kinosaal eines Kinokomplexes fasst über 500 Sitzplätze und wird vereinfacht durch einen Quader $ABCDEFGH$ modelliert. In Abbildung 1 ist dieser Quader in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet, wobei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Im gewählten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Die Kinoleinwand befindet sich auf der Wandfläche $AEFB$.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $F$ an.

b) (2)

Berechnen Sie die Länge der Kante $\overline{JK}$.

c) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Wert von $a$ so, dass der Laserstrahl mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ bildet.

d) (1)

Vom Punkt $G$ aus verläuft ein Laserstrahl entlang der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Der von $H$ in Richtung $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ verlaufende Laserstrahl wird so eingestellt, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ verläuft.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert von $a$.

Aufgabe B4

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge wird ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage verwendet, ein privat genutzter E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

a) (1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen; die übrigen E-Scooter dieses Herstellers kommen in privaten Haushalten zum Einsatz.

a) (2)

Die E-Scooter eines anderen Herstellers werden im Mittel 120 Tage lang genutzt.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die gelegentlich E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit der Wahrscheinlichkeit 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

b) (1)

b) (2)

Mit dem folgenden unvollständigen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Zusammenhang mit der oben beschriebenen Stichprobe bestimmt:

$P(X = \_\_) = \_\_ \cdot 0{,}1^{15} \cdot \_\_$

In einer weiteren deutschen Großstadt liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit bei nur 6 %. Ein E-Scooter-Hersteller will $p$ mit einer gezielten Werbekampagne steigern. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig gewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu prüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen wertet die Kampagne als erfolgreich, falls unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

c) (1)

Es sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit $p$ habe sich nicht geändert.

c) (2)

Es sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit $p$ habe sich sogar verdoppelt.

c) (3)

Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$(1-p)^{50} + 50 \cdot p \cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$

Bei sportlicher Belastung entsteht in den Muskeln Laktat (Milchsäure). Bei einem Laktattest werden Laktatwerte im Blut gemessen und dadurch der Trainingszustand eines Sportlers erfasst. Bei einem Laktatstufentest steigert der Sportler dazu in regelmäßigen Abständen seine Leistung, z. B. auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \le x \le 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a) (2 + 4 + 2 Punkte)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert beim Start und am Ende des Laktatstufentests.

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Laktatwert am niedrigsten ist, und geben Sie diesen Laktatwert an.

(3)

Ermitteln Sie die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach dem Start.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b) (2 + 3 Punkte)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$.

[Kontrolllösung: $g: y = 0{,}1846x + 1{,}11$.]

(2)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren A die IAS erreicht ist.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

c) (4 + 3 Punkte)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$.]

(2)

Der Sportler schätzt anhand der Abbildung, dass seine IAS nach ungefähr 35 Minuten erreicht ist. Prüfen Sie, ob der dem Zeitpunkt 35,5 Minuten entsprechende Punkt auf dem Graphen von $f$ einen geringeren Abstand zum Punkt $T$ hat als der zu Minute 35 gehörende Punkt auf dem Graphen von $f$.