Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Nachtermin · GTR

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Geben Sie für eine der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit einer Begründung an, welcher der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ zu ihr passt.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2)

Berechnen Sie das Integral $\int_{-2}^0 g(x)\,\mathrm{d}x$ und geben Sie dessen Wert an.

Es sei $a \in \mathbb{R}$ ein fest gewählter Wert. Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie den Wert des Parameters $a$, indem Sie die in der Abbildung erkennbaren Nullstellen von $f$ verwenden.

$a =$

Es sei $a \in \mathbb{R}$ ein fest gewählter Wert. Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

$F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x^2-4x$, für die $F(3)=1$ gilt.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung dieser Stammfunktion $F$.

$F(x) =$

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades liegen folgende Informationen vor:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1) Es wird der folgende Ansatz verwendet:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Die Gleichung der Funktion $f$ wird mit dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

(1)

Begründen Sie die zweite und dritte Gleichung des Gleichungssystems mithilfe der Informationen (i), (ii) bzw. (iii).

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet werden die Punkte $A(2|1|2)$ und $B(1|4|-2)$ sowie die Punkte $C_u(u|2u|u)$ mit $u \in \mathbb{R}$.

d) Gegeben sind die Punkte $A(2|1|2)$, $B(1|4|-2)$ und $C_u(u|2u|u)$, $u \in \mathbb{R}$.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den das Dreieck $ABC_u$ bei $A$ einen rechten Winkel besitzt.

$u =$

Betrachtet werden die Punkte $A(2|1|2)$ und $B(1|4|-2)$ sowie die Punkte $C_u(u|2u|u)$ mit $u \in \mathbb{R}$.

d) Betrachtet werden die Punkte $A(2|1|2)$, $B(1|4|-2)$ und $C_u(u|2u|u)$ mit $u \in \mathbb{R}$.

(2)

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ an, auf der alle Punkte $C_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ g(x) &= 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R}, \\ h(x) &= 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}. \end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

e) Gegeben sind der Punkt $P(1|5|-4)$ und die Ebene $E$ mit der Gleichung

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ in der Ebene $E$ liegt.

(2)

Für $a \in \mathbb{R}$ ist eine Gleichung der Geraden $g_a$ gegeben durch

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$ so, dass der Richtungsvektor der Geraden $g_a$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene verläuft.

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade

$$g_{0{,}5}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}$$

in der Ebene $E$ verläuft.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x) = 2x^3 + 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Geben Sie für eine der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit Begründung an, welcher der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ zu ihr passt.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x) = 2x^3 + 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2)

Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$.

Es sei $a \in \mathbb{R}$ ein fest gewählter Wert. Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie anhand der Nullstellen von $f$, die in der Abbildung zu erkennen sind, den Wert des Parameters $a$.

$a =$

Es sei $a \in \mathbb{R}$ ein fest gewählter Wert. Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

$F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x$, für die $F(3) = 1$ gilt.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung dieser Stammfunktion $F$.

$F(x) =$

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x) = 2x^3 + 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) $W(0\mid 4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

(iii) Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Zugrunde gelegt wird dieser Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Den Funktionsterm von $f$ erhält man über das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie unter Verwendung der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösungen des vorliegenden Gleichungssystems.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x) = 2x^3 + 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

d) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der nachstehenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße $X$ stimmen im Wert überein.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch $P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Die Zufallsgröße $X$ kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

wahr

falsch

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x) = 2x^3 + 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

e) Für ein Glücksspiel stehen die beiden folgenden Urnen bereit, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln insgesamt genau zwei Kugeln gezogen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne $A$ entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne $A$ schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne $B$.

Ist die aus Urne $A$ gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine Kugel aus Urne $A$ gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}7$ genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

(2)

Das Spiel wird $10$-mal gespielt.

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass in mindestens 9 dieser Spiele genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Geben Sie für eine der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit Begründung an, welcher der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ zu ihr passt.

Funktion:

Graph:

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2) Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$.

Es sei $a \in \mathbb{R}$ ein fest gewählter Wert. Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1) Ermitteln Sie den Wert des Parameters $a$, indem Sie die Nullstellen von $f$ verwenden, die in der Abbildung zu erkennen sind.

$a =$

Es sei $a \in \mathbb{R}$ ein fest gewählter Wert. Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2) Betrachtet wird die Stammfunktion $F$ von $f$ mit $f(x)=x^2-4x$, die die Bedingung $F(3)=1$ erfüllt.

Ermitteln Sie für diese Stammfunktion $F$ eine Funktionsgleichung.

$F(x) =$

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c)

Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0 \mid 4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1)

Man verwendet diesen Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} d &= 4 \\ 64a + 16b + 4c + d &= 0 \\ 12a + 4b + c &= 0 \\ 2b &= 0 \end{aligned}$$

Begründen Sie mithilfe der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

Betrachtet werden der Punkt $P(1|5|-4)$ sowie die Ebene $E$ mit der Gleichung

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix},\quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ auf der Ebene $E$ liegt. [2 Punkte]

(2)

Für jedes $a \in \mathbb{R}$ wird eine Gerade $g_a$ durch folgende Gleichung beschrieben:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\quad r \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Parameterwert $a$ so, dass der Richtungsvektor von $g_a$ zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene orthogonal ist. [2 Punkte]

$a =$

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade $g_{0{,}5}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\ r \in \mathbb{R}$ vollständig in der Ebene $E$ liegt. [1 Punkt]

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^3 + 8x, & x \in \mathbb{R}, \\g(x) &= 2x^3 - 8x, & x \in \mathbb{R}, \\h(x) &= 2x^3 + 8x^2, & x \in \mathbb{R}.\end{aligned}$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1)

Für die Zufallsgröße $X$ stimmen der Erwartungswert und die Standardabweichung überein. [3 Punkte]

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch $P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$ berechnen. [1 Punkt]

wahr

falsch

(3)

Die Zufallsgröße $X$ kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden. [1 Punkt]

wahr

falsch

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Im Weiteren können Sie ohne Beweis folgende Aussage nutzen:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch, welche Koordinaten und welche Art die lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$ haben.

a) (2)

Die Funktion $f$ besitzt im Intervall $[0,5; 2]$ eine Nullstelle.

Zeigen Sie, dass die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Nullstelle nicht am größten ist.

Teilaufgabe c)

Abbildung 3 zeigt neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ berührt.

c) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie alle Zahlen in dieser Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0,22x - 0,186$ ist eine Gleichung von $g$ mit auf weniger Nachkommastellen gerundeten Zahlen.]

Außer dem Berührpunkt $P(2 \mid f(2))$ besitzen der Graph von $f$ und die Tangente $g$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt $S(x_S \mid f(x_S))$.

c) (2)(i)

Zwischen dem Graphen von $f$ und der Tangente $g$ liegt eine eingeschlossene Fläche.

Bestimmen Sie deren Flächeninhalt.

c) (2)(ii)

Bestimmen Sie, welcher prozentuale Anteil dieser Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt.

%

Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Strecke nach oben verschoben, erhält man den Graphen einer Funktion $k$, den $g$ ebenfalls tangiert. Abbildung 4 zeigt die Graphen von $f$ und $k$ zusammen mit der gemeinsamen Tangente $g$.

c) (3)(i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist.

Zeichnen Sie diese Tangente in Abbildung 4 ein.

c) (3)(ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$, gerundet auf vier Nachkommastellen.

[Zur Kontrolle: Die $x$-Koordinate von $Q$ erfüllt $x_Q \approx 0,59$.]

c) (3)(iii)

Ermitteln Sie die Verschiebung, mit der der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm muss nicht vereinfacht werden.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Im Weiteren können Sie ohne Beweis folgende Aussage nutzen:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ mit der Funktionsgleichung

$$F(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + 0,4x$$

eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

b) (2)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

FE

b) (3)

Gegeben ist die Gleichung

$$\int_{0}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0.$$

Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen $b_1$ und $b_2$, die Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b zeigen.

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, dass $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Allein die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, anschließend wurde dessen Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ gibt die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ an, und zwar in „Bienen pro Tag". Bienen, die sterben, bleiben zunächst außer Betracht.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen keine Datumsangaben umgerechnet werden!

a)

(1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April ($t=50$) ist.

Bienen/Tag

(2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. sinkt.

(3)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.

(4)

Das Integral $\int_{9}^{10} f(t)\,dt$ beschreibt, wie viele Bienen am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht erforderlich.] Ermitteln Sie diese Anzahl rechnerisch.

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Durchschnitt pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t=0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t=232$).

b)

Wird ein Bienenvolk zu groß oder hat es zu wenig Platz für sein Nest, so teilt es sich auf und sucht nach neuen Nistplätzen – die Bienen schwärmen. Ein Imker verwendet zwei Ansätze: Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt. Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

(1)

Ermitteln Sie für Ansatz A den Zeitraum, in dem die Gefahr besteht, dass die Bienen schwärmen.

(2)

Die Gleichung $\int_{t}^{t+21} f(x)\,dx = 30000$ hat im Beobachtungszeitraum die Lösungen $t_1 \approx 47$ und $t_2 \approx 104$. Für $47 \le t \le 104$ gilt zusätzlich $\int_{t}^{t+21} f(x)\,dx \ge 30000$. Erläutern Sie die Bedeutung des Integrals im Sachzusammenhang. Interpretieren Sie die gegebenen Informationen im Kontext der Teilaufgabe b).

c)

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durchschnittlich nur ca. 35 Tage ("Sommerbienen"). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t=216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben. Die Sterberate der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit $$g(t)=\frac{1}{800000}t^4-\frac{1}{30000}t^3-\frac{5}{18}t^2+59{,}25\,t-1733,\quad t \in \mathbb{R}$$ modelliert.

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit "Bienen pro Tag") durch die Funktion $d$ mit $d(t)=f(t)-g(t)$ beschreiben lässt.

(2)

Geben Sie mithilfe des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise an, wann das Bienenvolk seine maximale Bienenanzahl erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Allein die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, anschließend wurde dessen Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ gibt die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ an, und zwar in „Bienen pro Tag". Bienen, die sterben, bleiben zunächst außer Betracht.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen keine Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht erforderlich.] Ermitteln Sie diese Zahl rechnerisch.

Bienen

a) (5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$).

Bienen pro Tag

b) (2)

Die Gleichung $\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x = 30\,000$ hat im Beobachtungszeitraum die Lösungen $t_1 \approx 47$ und $t_2 \approx 104$. Für $47 \le t \le 104$ gilt zusätzlich $\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x \ge 30\,000$.

Erläutern Sie, was das Integral im Sachzusammenhang bedeutet, und interpretieren Sie die angegebenen Informationen im Kontext der Teilaufgabe b).

c) (3)

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit $$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) nicht sämtliche Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. In Abbildung 1 sieht man diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem; dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $F$ besitzt. [1 Punkt]

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht modelliert.

(1) Bestimmen Sie für die Ebene $E_{JKL}$ eine Gleichung in Parameterform. [2 Punkte]

c)

Für eine Lasershow gibt es im Kinosaal zwei Projektoren, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgesendet.

(1) Zeigen Sie, dass alle diese Laserstrahlen parallel zur Ebene $E_{JKL}$ liegen. [2 Punkte]

(3) Für $a = 1$ folgt ein von $H$ ausgehender Laserstrahl der Geraden $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } t \in \mathbb{R}, t > 0.$$

Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der $x_1x_2$-Ebene und interpretieren Sie dessen Lage im Sachzusammenhang. [2 + 1 Punkte]

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. In Abbildung 1 sieht man diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem; dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit steht in diesem Koordinatensystem für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b) (2)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist.

c) (2)

Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgesendet.

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a$, für den der Laserstrahl mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

d) (1)

Vom Punkt $G$ aus verläuft ein Laserstrahl entlang der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Der von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ verlaufende Laserstrahl wird so eingestellt, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ verläuft.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert von $a$.

d) (2)

Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden zueinander senkrechten Laserstrahlen sich im Inneren des Kinosaals schneiden.

$S($

$|$

$|$

$)$

Ja

Nein

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

a)

E-Scooter (Elektro-Roller) erfreuen sich in Deutschland wachsender Beliebtheit. Die Nutzungsdauer eines einzelnen E-Scooters ist allerdings sehr davon abhängig, ob er als Verleihfahrzeug oder in einem privaten Haushalt verwendet wird. Erste Studien haben gezeigt, dass ein Verleihfahrzeug im Durchschnitt lediglich 30 Tage genutzt wird, während ein privater E-Scooter im Durchschnitt 365 Tage genutzt wird.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen werden privat genutzt. Bestimmen Sie die durchschnittliche Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers beträgt die durchschnittliche Nutzungsdauer 120 Tage. Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

b)

E-Scooter werden vor allem in Großstädten benutzt. In einer deutschen Großstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 %, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt. In dieser Stadt werden 200 zufällig ausgewählte Personen befragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter benutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

E1: Weniger als 17 der befragten Personen sind E-Scooter-Nutzende.

E2: Unter den befragten Personen sind mindestens so viele E-Scooter-Nutzende, wie zu erwarten sind.

(2)

Der folgende, unvollständige Ansatz wird zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang der oben genannten Stichprobe verwendet:

$$P(X=\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\cdot 0{,}1^{15}\cdot \_\_\_\_\_\_\_$$

(i)

Vervollständigen Sie den Ansatz und geben Sie ihn an.

(ii)

Nennen Sie ein Ereignis im Kontext der genannten Stichprobe, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit diesem Ansatz berechnen lässt.

(iii)

Interpretieren Sie die Bestandteile der rechten Seite des Ansatzes im Sachzusammenhang.

c)

In einer anderen deutschen Großstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, zurzeit nur 6 %. Ein Unternehmen, das E-Scooter herstellt, möchte diese Wahrscheinlichkeit $p$ durch eine gezielte Werbekampagne erhöhen. Nach der Durchführung der Werbekampagne soll durch eine Befragung von 150 zufällig ausgewählten Personen dieser Stadt geprüft werden, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen geht davon aus, dass die Kampagne erfolgreich war, wenn unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

(1)

Angenommen die Wahrscheinlichkeit $p$ habe sich nicht verändert. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Unternehmen auf Grundlage der Befragung dennoch davon ausgehen würde, dass die Werbekampagne erfolgreich gewesen sei.

(2)

Angenommen die Wahrscheinlichkeit $p$ habe sich sogar verdoppelt. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Unternehmen in diesem Fall auf Grundlage der Befragung darauf schließen würde, dass die Kampagne nicht erfolgreich war.

(3)

Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$$(1-p)^{50} + 50\cdot p\cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$$

Geben Sie an, welche Bedeutung die beiden Summanden auf der linken Seite der Gleichung im Sachzusammenhang haben.

Wird der Körper sportlich beansprucht, bildet sich in den Muskeln Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man den Laktatgehalt im Blut und beurteilt so den Trainingszustand eines Sportlers. Beim Laktatstufentest erhöht der Sportler dazu in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, z. B. auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R}$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x=0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a) (1)

Ermitteln Sie, welchen Laktatwert der Sportler zu Beginn und am Ende des Laktatstufentests hat.

a) (2)

Weisen Sie nach: Die 1. Ableitung von $f$ ist $$f'(x) = \frac{1}{100}(-0{,}0011x^2 + 0{,}09x - 1{,}09)\cdot e^{0{,}11x}.$$

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch, wann der Laktatwert sein Minimum annimmt, und geben Sie diesen minimalen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$.

[Kontrolllösung: $g: y = 0{,}1846x + 1{,}11$.]

b) (2)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die IAS nach Verfahren A erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes $K$ auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

c) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ beider Tangenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$]

c) (2)

Nach diesem Verfahren wird die IAS nach 35,64 Minuten erreicht. Ermitteln Sie die Entfernung zwischen dem zugehörigen Punkt $K$ und $T$.