Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \left(2 + \frac{x}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2}\right)^3$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

a)

Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen an.

b)

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass $G_f$ mindestens einen Hochpunkt hat.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \left(2 + \frac{x}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2}\right)^3$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

c)

$W_1(2|0)$ ist ein Wendepunkt von $G_f$. Weisen Sie rechnerisch nach, dass auch $W_2\left(-1\middle|\frac{81}{16}\right)$ ein Wendepunkt von $G_f$ ist und dass $G_f$ keine weiteren Wendepunkte hat.

d)

Die Gerade $g$ verläuft durch $W_1$ und $W_2$.

Stellen Sie $G_f$ für $-4 \le x \le 4$ in einem Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie $g$ in dieses Koordinatensystem ein und weisen Sie nach, dass $g$ durch die Gleichung $y = -\frac{27}{16}x + \frac{27}{8}$ dargestellt wird.

f)

Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl der Geraden, die parallel zu $g$ sind und $G_f$ berühren.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \left(2 + \frac{x}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2}\right)^3$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Die Gerade $g$ verläuft durch die Wendepunkte $W_1(2|0)$ und $W_2\left(-1\middle|\frac{81}{16}\right)$ und besitzt die Gleichung $y = -\frac{27}{16}x + \frac{27}{8}$.

$G_f$ und $g$ schließen drei Flächenstücke ein. Zeigen Sie, dass die Summe der Inhalte zweier dieser Flächenstücke ebenso groß ist wie der Inhalt des dritten.

Im Längsschnitt eines Berghangs kann dessen Profillinie für $-5 \le x \le 4$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{4} \cdot f\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)$, d. h. $h(x) = \frac{1}{1024} \cdot (8 + x) \cdot (4 - x)^3$, beschrieben werden. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Hang in Querrichtung nicht geneigt ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.

a

Der Hochpunkt des Graphen von $h$ hat die $x$-Koordinate $-5$. Geben Sie die zugehörige $y$-Koordinate an und stellen Sie die Profillinie des Hangs in einem Koordinatensystem graphisch dar.

b

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann.

c

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt des Hangs etwa $214\text{ m}$ beträgt. Ermitteln Sie das durchschnittliche Gefälle zwischen diesen beiden Punkten in Prozent.

%

Im Längsschnitt eines Berghangs kann dessen Profillinie für $-5 \le x \le 4$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{4} \cdot f\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)$, d. h. $h(x) = \frac{1}{1024} \cdot (8 + x) \cdot (4 - x)^3$, beschrieben werden. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Hang in Querrichtung nicht geneigt ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.

d

Der Hang wird als Skipiste genutzt. Der Tabelle kann der Zusammenhang zwischen dem Schwierigkeitsgrad von Skipisten und deren jeweiligem maximalen Gefälle entnommen werden:

Schwierigkeitsgrad · leicht · mittel · schwer

maximales Gefälle · bis 25 % · bis 40 % · mehr als 40 %

Ermitteln Sie den Schwierigkeitsgrad der hier betrachteten Piste.

%

e

Am höchsten Punkt des Hangs steht ein Turm mit einer Höhe von $25\text{ m}$. Es gibt zwei Abschnitte des Hangs, in denen der Turm vom Boden aus zumindest teilweise sichtbar ist. Ermitteln Sie die Lage des höher gelegenen der beiden Abschnitte.