Aufgabe A1 Teilaufgabe d) - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

(1) Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an, auf der die Punkte A und B liegen.

Lösung: $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -15 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$

(2) Weisen Sie nach, dass A ein Punkt der Geraden g ist. Untersuchen Sie, in welcher Lage die Geraden g und h zueinander stehen.

Lösung: Punktprobe: $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ -6{,}5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix} \Leftrightarrow r = 0{,}5$. Damit liegt $A$ auf $g$. Da $\begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\ -14 \end{pmatrix} = -\frac{7}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -15 \\ 10 \end{pmatrix}$, sind die Richtungsvektoren kollinear. Mit dem gemeinsamen Punkt $A$ sind $g$ und $h$ identisch.

Lage der Geraden g und h zueinander:

Lösung: identisch

(3) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, welche die Gerade g in A schneidet.

Lösung: $l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -15 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$