Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=(1-x^2)\cdot e^{x+1}, \ x\in \mathbb{R},$$

$$g(x)=(1+x^2)\cdot e^{x+1}, \ x\in \mathbb{R},$$

$$h(x)=(1-x^2)\cdot e^{-x^2}, \ x\in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1) Geben Sie zu zwei der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ jeweils mit Begründung an, welchen der Graphen A, B bzw. C man ihnen zuordnen kann.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=(1-x^2)\cdot e^{x+1}, \ x\in \mathbb{R},$$

$$g(x)=(1+x^2)\cdot e^{x+1}, \ x\in \mathbb{R},$$

$$h(x)=(1-x^2)\cdot e^{-x^2}, \ x\in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2) Berechnen Sie $h'(-1)$.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird eine Funktion $f_a$ durch die folgende Gleichung festgelegt:$$f_a(x) = x^2 + (1-2a)\cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie, dass jede Funktion $f_a$ an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle besitzt.

(2)

Bestimmen Sie den Parameterwert $a$, für den $f_a$ zusätzlich an der Stelle $x = -2$ eine Nullstelle hat.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird eine Funktion $f_a$ durch die folgende Gleichung festgelegt:$$f_a(x) = x^2 + (1-2a)\cdot x - 2a, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(3)

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_0$ mit $f_0(x) = x^2 + x$.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f_0$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie der Abbildung entnehmen.

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind diese Angaben bekannt:

Der Graph hat an der Stelle $x = 2$ ein lokales Extremum.

$W(0 \mid 4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum die gesuchte Funktion wenigstens den Grad 3 haben muss.

(2)

Als Ansatz dient:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$,   $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$   und   $f''(x) = 6ax + 2b$.

Zur Bestimmung der Gleichung der Funktion $f$ dient das folgende Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems anhand der Angaben (i), (ii) bzw. (iii).

(3)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2+4\cdot x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Für alle $a \in \mathbb{R}$ gilt: $f(2-a) = e^{-a^2+4}$.

Weisen Sie nach, dass die Gleichung $f(2+a) = f(2-a)$ für jedes $a \in \mathbb{R}$ erfüllt ist.

(2)

Interpretieren Sie, was die Gleichung $f(2-a) = f(2+a)$ geometrisch für den Verlauf des Graphen von $f$ aussagt.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-x^2+4\cdot x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 3 zeigt den Graphen von $f$.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $P(4 \mid 1)$.

Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(4 \mid 1)$ berührt.

$t(x) =$

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1)

Die Zufallsgröße $X$ hat einen Erwartungswert, der mit der Standardabweichung übereinstimmt.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge kann man mit $$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^2$$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Es gilt $P(X = 0) = P(X = 1)$.

wahr

falsch

f) Für ein Spiel stehen die beiden folgenden Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln genau zwei Kugeln gezogen:

Zuerst wird zufällig eine Kugel aus Urne A entnommen.

Ist diese Kugel aus Urne A schwarz, folgt danach eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die aus Urne A gezogene Kugel weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig eine weitere Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}7$ genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

(2)

Das Spiel wird wiederholt gespielt.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis $E$ an, für das

$$P(E) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2$$

gilt.

(3)

In Urne B wird die Anzahl der schwarzen Kugeln abgeändert. Hierdurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Spielen genau eine schwarze Kugel zu ziehen, von $0{,}7$ auf $0{,}5$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 \text{ mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ sowie für $a = -1$.

a)

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zuzuordnen ist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 \text{ mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ sowie für $a = -1$.

Teilaufgabe b

b) (1)

Zeigen Sie: $f_a'(x) = 2ae^{ax} \cdot (1 + ax)$. [2 Punkte]

Im Weiteren dürfen Sie ohne Nachweis verwenden:

Die zweite Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a''(x) = 2a^2 \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax)$.

b) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, die lokalen Extremstellen von $f_a$ sowie deren Art. [6 Punkte]

b) (3)

Es existieren zwei Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, die sich um 1 unterscheiden, sodass der Graph der Funktion $f_{0{,}5}$ in den Punkten $(s \mid f_{0{,}5}(s))$ und $(t \mid f_{0{,}5}(t))$ dieselbe Steigung besitzt. Bestimmen Sie $s$ und $t$ gerundet auf zwei Nachkommastellen und geben Sie die Steigung des Graphen von $f_{0{,}5}$ an diesen Stellen an. [4 Punkte]

Teilaufgabe d

Für jedes $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$. [Hinweis: Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Mit $d_a$ wird die Entfernung zwischen dem Wendepunkt $W_a$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der $y$-Achse bezeichnet.

d) (1)

Berechnen Sie einen Parameterwert $a$, für den $d_a = 5$ gilt. [4 Punkte]

d) (2)

(i) Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes bei wachsendem $a$ ändert. [3 Punkte]

(ii) Für $a > 0$ strebt der Abstand $d_a$ bei immer größer werdendem $a$ gegen einen festen Wert. Geben Sie diesen Wert an. [1 Punkt]

Es sei nun $a = -2$. Der Graph von $t_{-2}$ ist die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}$; sie wird im Weiteren Wendetangente genannt.

d) (3)

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung der Funktion $t_{-2}$. [4 Punkte]

Teilaufgabe e

Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ die gleiche Steigung haben.

In Abbildung 3 sind die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$ dargestellt.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Der Graph von $k$ geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem dieser nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschoben wird.

Ermitteln Sie rechnerisch, welche Verschiebungen den Graphen von $f_1$ in den Graphen von $k$ überführen, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an. [Hinweis: Der Funktionsterm von $k$ muss nicht vereinfacht werden.] [6 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 \text{ mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ sowie für $a = -1$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass die Funktion $F_{-2}$ mit der Funktionsgleichung

$$F_{-2}(x) = 2x\cdot e^{-2x} + e^{-2x} + x$$

eine Stammfunktion von $f_{-2}$ darstellt.

c) (2)

Im Intervall $[0; 1]$ schneidet der Graph der Funktion $f_{-2}$ die $x$-Achse nicht.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der im Intervall $[0; 1]$ vom Graphen von $f_{-2}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

FE

d) (4)

In Abbildung 2 sind der Graph von $f_{-2}$ sowie die Wendetangente $t_{-2}$ dargestellt. Die Graphen von $f_{-2}$ und $t_{-2}$ haben nur den Wendepunkt gemeinsam.

Betrachtet wird die Gleichung

$$\int_{z}^{z+2} (f_{-2}(x) - t_{-2}(x))\,dx = 0.$$

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2 und ohne zusätzliche Rechnungen, dass genau ein Wert für $z$ die Gleichung erfüllt.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen gehen neue Bienen hervor.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend durch ein Modell beschrieben. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen“.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich auf und sucht neue Nistplätze – man spricht vom Schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker wollen das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Für $35 \le t \le 216$ beschreibt die Differenzfunktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ die Änderungsrate der Bienenanzahl.

Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), haben im Herbst und Winter kaum Arbeit und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen den Winter gemeinsam mit ihrer Königin und kümmern sich im folgenden Frühjahr um die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \ge 216,$$

zur Bestimmung einer Funktion $h$, die die obigen Anforderungen erfüllt.

a)

(1) Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate zum Ende des 22. April ($t = 50$) ist.

Bienen pro Tag

b)

(1) Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum die Bienen Gefahr laufen zu schwärmen.

von $t \approx$ bis $t \approx$

d)

(1) Wählt man die Parameter $a$ und $b$ passend, so kann man mit dem Ansatz $$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot t} + 20, \quad t \ge 216$$ eine Funktion $h$ bestimmen, welche die obigen Anforderungen erfüllt.

Geben Sie an, welche Vorzeichen $a$ und $b$ dafür haben müssen, und begründen Sie, dass die Funktion $h$ mit dieser Vorzeichenwahl alle obigen Anforderungen erfüllt.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen gehen neue Bienen hervor.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend durch ein Modell beschrieben. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen“.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich auf und sucht neue Nistplätze – man spricht vom Schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker wollen das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Für $35 \le t \le 216$ beschreibt die Differenzfunktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ die Änderungsrate der Bienenanzahl.

Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), haben im Herbst und Winter kaum Arbeit und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen den Winter gemeinsam mit ihrer Königin und kümmern sich im folgenden Frühjahr um die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \ge 216,$$

zur Bestimmung einer Funktion $h$, die die obigen Anforderungen erfüllt.

(2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate jeweils am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt.

(3)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen gehen neue Bienen hervor.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend durch ein Modell beschrieben. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen“.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich auf und sucht neue Nistplätze – man spricht vom Schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker wollen das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Für $35 \le t \le 216$ beschreibt die Differenzfunktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ die Änderungsrate der Bienenanzahl.

Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), haben im Herbst und Winter kaum Arbeit und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen den Winter gemeinsam mit ihrer Königin und kümmern sich im folgenden Frühjahr um die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \ge 216,$$

zur Bestimmung einer Funktion $h$, die die obigen Anforderungen erfüllt.

Teilaufgabe a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Begründung nicht erforderlich.]

Ermitteln Sie diese Zahl rechnerisch.

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$).

Teilaufgabe b)

(2)

Ermitteln Sie eine Gleichung, die es erlaubt, Anfang und Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B zu berechnen.

Zeigen Sie, dass die Schwarmzeit nach Ansatz B von $t_1 \approx 47$ bis $t_2 \approx 104$ dauert.

Teilaufgabe c)

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

(2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Bienenanzahl hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3)

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen gehen neue Bienen hervor.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend durch ein Modell beschrieben. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen“.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \le t \le 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0; 232]$.

Für die gesamte Aufgabe gilt: Eine Umrechnung in Datumsangaben ist nicht erforderlich!

Ist ein Bienenvolk zu groß geworden oder fehlt ihm der Platz im Nest, spaltet es sich auf und sucht neue Nistplätze – man spricht vom Schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker wollen das verhindern.

Um vorherzusagen, wann ein Schwärmen der Bienen droht („Schwarmzeit“), nutzt ein Imker zwei unterschiedliche Ansätze:

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben.

Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \le t \le 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Für $35 \le t \le 216$ beschreibt die Differenzfunktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ die Änderungsrate der Bienenanzahl.

Bienen, die ungefähr ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), haben im Herbst und Winter kaum Arbeit und leben daher deutlich länger. Viele von ihnen überstehen den Winter gemeinsam mit ihrer Königin und kümmern sich im folgenden Frühjahr um die erste Brut, ehe sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober soll durch eine Funktion $h$ modelliert werden. Die Funktion $h$ soll für $t \ge 216$ ausschließlich positive Funktionswerte aufweisen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich dabei langfristig dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit der Gleichung $l(t) = 20$ annähern.

Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \ge 216,$$

zur Bestimmung einer Funktion $h$, die die obigen Anforderungen erfüllt.

d) (2)

An der Stelle $t = 216$ soll der Graph von $h$ ohne Knick an den Graphen der Funktion $g$ anschließen.

Geben Sie Gleichungen an, mit deren Hilfe sich die Parameter $a$ und $b$ bestimmen lassen.

[Hinweis: Es ist nicht erforderlich, die Parameter zu bestimmen.]

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in vereinfachter Form als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, wobei Folgendes gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im gewählten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b) Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die modellhaft die Position der Kinositze beschreibt.

(1)

Begründen Sie, dass $$E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r,s \in \mathbb{R}$$ eine Parameterdarstellung der Ebene $E_{JKL}$ ist.

(2)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung der Ebene $E_{JKL}$ in Koordinatenform. [Mögliche Lösung: $E_{JKL}: 2x_2 - 6x_3 = 10$]

Im Kinosaal sind für eine Lasershow zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

c) Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\begin{pmatrix} a \\ 3b \\ b \end{pmatrix}$ mit $a,b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$, $b \le 0$, ausgesendet.

(1)

Zeigen Sie, dass alle Laserstrahlen, die diese Bedingung erfüllen, in der Ebene $E_{\text{Laser}}: x_2 - 3x_3 = -4$ verlaufen.

(2)

Begründen Sie, dass $E_{JKL}$ und $E_{\text{Laser}}$ zueinander parallel, aber nicht identisch sind.

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in vereinfachter Form als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, wobei Folgendes gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im gewählten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an.

b)(3)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist.

c)(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, welchen Abstand die Ebene $E_{JKL}$ von der Ebene $E_{\text{Laser}}$ hat.

c)(4)

Es werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, abgegeben.

Bestimmen Sie rechnerisch, für welches $a$ ein Laserstrahl entsteht, der mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

d) Von Punkt $G$ aus verlaufen Laserstrahlen entlang der Geraden $$g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} k-15 \\ -23 \\ \sqrt{4-k^2}-4 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R} \text{ mit } -2 \le k \le 2$$ ausgesandt. Diese Strahlen gelangen zur Wandfläche $AEFB$ mit $E_{AEFB}: x_2 = 0$.

(1)

Bestimmen Sie die von $k$ abhängigen Koordinaten der Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Wandfläche $AEFB$ erreichen.

Zeigen Sie, dass der Abstand der Punkte $S_k$ vom Punkt $M(5|0|5)$ nicht von $k$ abhängt.

(2)

Für $-2 \le k \le 2$ bilden die Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Leinwand erreichen, eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass diese ein nach unten geöffneter Halbkreis ist.

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Folgenden angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$:

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und den Anteil der E-Scooter-Nutzenden steigern. Dazu lässt er in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt insgesamt 20 Gutscheine, die folgendermaßen aufgeteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gegeben. Daraus wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Bei jedem Zug erhält die Person, deren Name gezogen wurde, einen Gutschein.

Nach diesem Verfahren kann also jeder der Freunde keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“

Die Werbekampagne soll auch in einer weiteren deutschen Großstadt stattfinden, in der die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit nur $6\,\%$ beträgt. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu testen, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man fälschlicherweise eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und damit einen Erfolg der Kampagne annimmt, soll höchstens $5\,\%$ betragen.

Aufgabenstellung:

a)

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Untersuchungen zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage in Gebrauch, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1)

Ein Hersteller liefert 90 % seiner produzierten E-Scooter an Leihfirmen; die übrigen E-Scooter dieses Herstellers werden privat genutzt.

Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer aller E-Scooter, die dieser Hersteller herstellt.

(2)

Für die E-Scooter eines anderen Herstellers liegt die mittlere Nutzungsdauer bei 120 Tagen.

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für den privaten Gebrauch herstellt.

b)

Personen, die gelegentlich einen E-Scooter fahren, heißen in dieser Aufgabe E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter verbreitet. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

(1)

Ermitteln Sie für jedes der folgenden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit:

$E1$: Weniger als 17 der Befragten sind E-Scooter-Nutzende.

$E2$: Die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden liegt mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ entfernt.

(2)

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$ dargestellt.

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen möglichen Wert für $k$, sodass $P_{200;0{,}1}(k \le X \le k+2) \approx 0{,}15$ gilt, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

(3)

Vier Studierende führen die Befragung durch. Dazu wird die Stichprobe von 200 Personen zufällig in vier unabhängige Gruppen mit je 50 Personen geteilt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens zwei der vier Gruppen mindestens 5 Personen E-Scooter-Nutzende sind.

c)

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und mehr E-Scooter-Nutzende gewinnen und lässt deshalb in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt zusammen 20 Gutscheine, die folgendermaßen verteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gelegt. Daraus wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Wessen Name gezogen wird, erhält jeweils einen Gutschein.

Bei diesem Verfahren kann also jeder Freund keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Das Ereignis $E$ sei: „Eine bestimmte Person erhält genau einen Gutschein.“

Nur einer der folgenden Ansätze eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $E$.

Entscheiden Sie, welcher Ansatz zutrifft, und erläutern Sie Ihre Entscheidung.

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Folgenden angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$:

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und den Anteil der E-Scooter-Nutzenden steigern. Dazu lässt er in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt insgesamt 20 Gutscheine, die folgendermaßen aufgeteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gegeben. Daraus wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Bei jedem Zug erhält die Person, deren Name gezogen wurde, einen Gutschein.

Nach diesem Verfahren kann also jeder der Freunde keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“

Die Werbekampagne soll auch in einer weiteren deutschen Großstadt stattfinden, in der die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit nur $6\,\%$ beträgt. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu testen, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man fälschlicherweise eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und damit einen Erfolg der Kampagne annimmt, soll höchstens $5\,\%$ betragen.

Die in c) dargestellte Werbekampagne wird auch in einer weiteren deutschen Großstadt umgesetzt. Dort liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, aktuell nur bei 6 %. Nach der Kampagne werden 150 zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt, um zu prüfen, ob die Kampagne Erfolg hatte. Die Wahrscheinlichkeit, dass man irrtümlich eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ annimmt und damit einen Erfolg der Kampagne unterstellt, darf höchstens 5 % betragen.

Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der 5 %-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie das Intervall, nach dem gefragt ist.

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p > 0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens 20 %.

(2)

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06 < p \leq 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen.

Aufgabenstellung:

Wenn Muskeln stark beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man den Laktatgehalt im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Beim Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in $\text{mmol/l}$ (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten. Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1) Ermitteln Sie den Laktatwert zu Beginn und am Ende des Laktatstufentests.

(2) Weisen Sie nach: Die 1. Ableitung von $f$ ist $f'(x) = \frac{1}{100}(-0{,}0011x^2 + 0{,}09x - 1{,}09)\cdot e^{0{,}11x}$.

(3) Ermitteln Sie die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts zum Zeitpunkt 30 Minuten nach Teststart.

(4) Bestimmen Sie rechnerisch, wann der Laktatwert sein Minimum annimmt, und geben Sie diesen minimalen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0\mid f(0))$ und $E(45\mid f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

b)

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente.

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren A die IAS erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 2).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6\mid 0{,}7)$.]

$T($ $\mid$ $)$

(2) Bestimmen Sie eine Zielfunktion, mit deren Hilfe der Abstand eines Punktes auf dem Graphen von $f$ zum Punkt $T$ berechnet werden kann, und ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren B die IAS erreicht ist.