Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^3 - x$.

(1) Von den folgenden Graphen I, II und III ist einer der Graph von $f$.

Geben Sie an, welche der Graphen dafür nicht in Betracht kommen, und begründen Sie Ihre Auswahl.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^3 - x$.

(2) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Hinweis: Die Nullstellen können Sie der obigen Abbildung 1 entnehmen.

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot e^{-x+4},\, x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle.

Ermitteln Sie die Extremstelle von $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

$x =$

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot e^{-x+4},\, x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion von $f$.

Hinweis: Auf die genauen $y$-Werte kommt es dabei nicht an.

Jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung $$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_a$ zugeordnet.

(1)

Geben Sie die Stellen an, an denen die Funktion $f_1$ mit $f_1(x) = (x+2)(2x+1)e^x$ den Wert null annimmt.

(2)

In Abbildung 3 wird der Graph der Funktion $f_a$ für einen bestimmten Wert von $a$ dargestellt. Begründen Sie, dass für den in Abbildung 3 gezeigten Graphen $a = 0$ gilt.

Jedem $a \in \mathbb{R}$ wird durch die Gleichung $$f_a(x) = (x+2)(2x+a)e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_a$ zugeordnet.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den der Punkt $P(3 \mid 40e^3)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

d) Die Zufallsgröße $X$ besitzt eine Binomialverteilung mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}5$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ verläuft symmetrisch um den Erwartungswert.

(1)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ gilt näherungsweise $2\,\%$. Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$.

In den folgenden Aufgaben werden immer zwei Würfel zugleich geworfen. Die Seiten jedes Würfels tragen die Zahlen 1 bis 6.

(1)

Man wirft die beiden Würfel ein Mal. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dabei keine „6“ zu erhalten, $\frac{25}{36}$ beträgt.

In den folgenden Aufgaben werden immer zwei Würfel zugleich geworfen. Die Seiten jedes Würfels tragen die Zahlen 1 bis 6.

(2)

Man wirft die beiden Würfel insgesamt 36-mal. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, bei wie vielen Würfen keine „6“ fällt. Begründen Sie für jede der Abbildungen 4, 5 und 6 jeweils, warum sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b)

Der Punkt $P_u(u \mid f(u))$ liegt beliebig auf dem Graphen von $f$.

Zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ bildet $P_u$ das Dreieck $NF_uP_u$.

(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $NF_uP_u$ ein, das entsteht, wenn $P_u$ der Hochpunkt von $f$ ist.

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das Sie in b) (1) gezeichnet haben.

(3)

Untersuchen Sie, ob sich $P_u$ auf dem Graphen von $f$ so wählen lässt, dass das Dreieck $NF_uP_u$ einen Flächeninhalt von 2 FE besitzt.

Teilaufgabe c)

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$, $x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ den Graphen von $f$ tangiert.

(2)

Die in c) (1) gegebene Tangente schneidet beide Koordinatenachsen; diese Schnittpunkte bilden mit dem Ursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck.

Berechnen Sie dessen Umfang.

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die in c) (1) gegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$.

Teilaufgabe d)

Die Gerade $y = x$ heißt „1. Winkelhalbierende“. Auf dem Graphen von $f$ gibt es genau einen Punkt $R$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ zur 1. Winkelhalbierenden parallel verläuft.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t_R$.

[Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.]

(2)

Die Gerade $y = -x$ heißt „2. Winkelhalbierende“.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von $t_R$ mit der 2. Winkelhalbierenden.

(3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand zwischen der Tangente $t_R$ und der 1. Winkelhalbierenden.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $f$ ausschließlich an der Stelle $x = 1$ eine Nullstelle besitzt.

a) (3)

Ermitteln Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $|f(x)| < 0{,}1$.

Geben Sie die Werte auf 4 Nachkommastellen gerundet an.

$x_1 \approx$

und $x_2 \approx$

$x_3 \approx$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

c) Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die in c) (1) angegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $F$.

FE

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung dargestellt:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass $(12 \mid 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ in $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$, welche die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verbindet.

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu $g$ parallele Gerade ein, die im Bereich $0 \leq x \leq 8$ genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von $f$ besitzt.

a) (3)

Für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ legen die Punkte $O(0 \mid 0)$, $B(b \mid 0)$ und $C(b \mid f(b))$ ein Dreieck $OBC$ fest.

Ermitteln Sie den Wert von $b$, bei dem das Dreieck $OBC$ den größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung dargestellt:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Teilaufgabe b)

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

b) (1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ ergibt.

b) (4)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 16]$, an denen die Graphen von $f$ und $h_3$ in vertikaler Richtung $250$ Längeneinheiten voneinander entfernt sind.

Geben Sie die gefundenen Stellen, auf eine Nachkommastelle gerundet, der Größe nach aufsteigend an:

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung dargestellt:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Teilaufgabe b) (2)

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Bestimmen Sie den Wert von $a$, bei dem der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung dargestellt:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

b)

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

(3)

Die Gleichung $f(x) = h_{3{,}75}(x)$ besitzt genau die drei Lösungen $x_1 = 0$, $x_2 = 6$ und $x_3 = 10$; außerdem gilt $\int_0^{10} (f(x) - h_{3{,}75}(x))\,\mathrm{d}x = 0$.

Erläutern Sie, was diese Aussage geometrisch für die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ bedeutet.

c)

Ein Unternehmen bewahrt Glyzerin in einem Tank auf. Für $0 \leq x \leq 20$ wird die momentane Änderungsrate des Tankinhalts durch die Funktion $f$ (aus a)) modelliert. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Anfangs enthält der Tank $1200\text{ kg}$ Glyzerin.

(1)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $(4 \mid 240)$.

Interpretieren Sie die beiden Koordinaten dieses Punktes im Kontext der Aufgabe.

(2)

Beurteilen Sie diese Aussage: „Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich die maximale Menge Glyzerin im Tank.“

(3)

Bestimmen Sie, um wie viel der Tankinhalt zwischen acht und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn zunimmt.

(4)

Berechnen Sie die Glyzerinmenge, die sich 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet.

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und auf mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung nicht bei einer einzelnen Person liegt. Dies ist etwa bei einem geheimen Code, z. B. für das Öffnen eines Tresors, sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen lassen.

Ein Unternehmen kann ein derartiges Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei bestimmt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie diese in ein Computersystem eingibt. Das System löst mit den Eingaben geometrische Probleme.

Zur Vereinfachung soll gelten, dass der gesuchte geheime Code stets drei Ziffern hat.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt: $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ befinden sich in einer Ebene $H$. Je ein Punkt davon ist einem von drei eingeweihten Mitarbeitenden als Teilgeheimnis bekannt, und zwar in Form seiner Koordinaten. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(1)

Im System werden die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ eingegeben.

Berechnen Sie den geheimen Code.

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Einem vierten Mitarbeitenden wird der Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis anvertraut. Dieser Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code dennoch nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der weder mit $C$ noch mit $S$ übereinstimmt, sodass der geheime Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermittelt werden kann.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist für ein $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$. Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) und der Geraden $h_a$.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $S$ der Schnittpunkt von $g$ und $h_a$ ist.

(2)

Als Teilgeheimnisse sollen eingeweihte Mitarbeitende jeweils die Koordinaten eines Punktes der Geraden $h_4$ bekommen, der nicht $S$ ist.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der sich von $(-7|8|-1)$ und von $S$ unterscheidet und als Teilgeheimnis infrage kommt.

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und auf mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung nicht bei einer einzelnen Person liegt. Dies ist etwa bei einem geheimen Code, z. B. für das Öffnen eines Tresors, sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen lassen.

Ein Unternehmen kann ein derartiges Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei bestimmt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie diese in ein Computersystem eingibt. Das System löst mit den Eingaben geometrische Probleme.

Zur Vereinfachung soll gelten, dass der gesuchte geheime Code stets drei Ziffern hat.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt: $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

c) Eine andere Firma nutzt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$.

Drei eingeweihte Beschäftigte kennen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit $I(4|3|2)$, $J(8|6|-1)$ und $K(6|5|1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden.

$|\vec{IK}| =$ und $|\vec{JK}| =$

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code.

(3)

Eine weitere beschäftigte Person soll die Koordinaten eines Punktes $L$ erhalten, der sich von $K$ unterscheidet und wie $K$ mit $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich auf die zuvor beschriebene Weise der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $L$.

$L($ $|$ $|$ $)$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden im Jahr 2018 rund 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden bestanden.

a)

Eine Fahrschulkette erwartet am Standort Düsseldorf für 2021 insgesamt 250 praktische Führerscheinprüfungen. Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele dieser 250 praktischen Prüfungen bestanden werden. Modellhaft wird $X$ als binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ angenommen.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

(2) Dabei sei $k$ eine ganze Zahl mit $0 \leq k \leq 250$.

b)

Die Fahrschulkette will 2022 eine Filiale in Soest eröffnen. Als Qualitätsanspruch an die Ausbildung verlangt die Zentrale, dass im Schnitt mindestens 70 % der praktischen Prüfungen bestanden werden. Für Soest rechnet man 2022 mit 200 abgelegten praktischen Prüfungen. Werden davon mindestens 140 bestanden, geht die Zentrale davon aus, dass auch in Soest wegen der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70 % bestanden wird. Modellhaft sei die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter den 200 prognostizierten binomialverteilt.

(1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale annimmt, in Soest werde jede Prüfung mit mindestens 70 % Wahrscheinlichkeit bestanden, obwohl die tatsächliche Bestehenswahrscheinlichkeit je Prüfung nur 65 % beträgt.

(2) Die Abbildung stellt das Histogramm zu $P_{200;0{,}7}(Y = k)$ dar, also für $p = 0{,}7$.

Werden in Soest z. B. nur 130 der 200 prognostizierten praktischen Prüfungen bestanden, schließt die Zentrale, dass jede Prüfung dort mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 70 % bestanden wird. Erklären Sie anhand des Histogramms, weshalb die Zentrale mit dieser Einschätzung möglicherweise falsch liegt.

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, sowohl über die Brücke als auch unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie hoch und wie lang die Brücke ist (vgl. Abbildung).

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.]

c)

Geben Sie an, was der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang bedeutet, und bestimmen Sie seinen Wert.

d)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die beim Überqueren der Brücke bewältigt werden muss.

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, sowohl über die Brücke als auch unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

a)

Begründen Sie, warum die obere Randlinie symmetrisch bezüglich der $y$-Achse verläuft.

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb sich beliebig große Werte von $a$ nicht zur Beschreibung der unteren Randlinie eignen.

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, sowohl über die Brücke als auch unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a\cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\, a > 0$ beschrieben werden.

e)

Die Länge einer der zwei Bodenflächen des mittleren Bauteils ist in der Abbildung mit $s$ gekennzeichnet.

Bestimmen Sie diejenige Zahl $a$, für die sich $s = 0{,}1\text{ dm}$ ergibt.

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, sowohl über die Brücke als auch unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Betrachtet wird die Brücke mit $a = 1{,}25$. Ihre drei Bauteile bestehen aus massivem Holz, wobei $1\text{ dm}^3$ dieses Holzes $800\text{ Gramm}$ wiegt. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

g)

Bestimmen Sie die Nullstellen von $q_{1{,}25}$ und ermitteln Sie anschließend die Masse des mittleren Bauteils.

$x_1 =$

$x_2 =$