Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (Kolleg)

Aufgabenstellung:

a) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = -x^2 + 4x$ und $g(x) = x$, $x \in \mathbb{R}$.

Zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse liegt eine Fläche $E$ mit dem Inhalt $\frac{32}{3}\text{ FE}$.

Durch den Graphen von $g$ wird die Fläche $E$ in zwei Teilflächen zerlegt (vgl. Abbildung 1).

(1)

Berechnen Sie, an welchen Stellen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

$x_1 =$

und $x_2 =$

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt jeder der beiden Teilflächen von $E$.

FE

FE

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = -x^2 \cdot e^{-x+2}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Zeigen Sie: $f'(x) = (x^2 - 2x) \cdot e^{-x+2}$.

(2)

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$.

(1)

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für das Integral $\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x$ und erläutern Sie, wie Sie dabei vorgegangen sind.

(2)

$F$ sei eine Stammfunktion von $f$.

(i) Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass $F$ an den Stellen $x = 0$, $x = 4$ und $x = 8$ Extremstellen besitzt.

(ii) Geben Sie begründend an, welche Art von Extremstelle von $F$ bei $x = 4$ vorliegt.

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 25$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Bekannt ist: $P_{25;\, 0{,}5}(X \le 10) \approx 0{,}2122$.

Ermitteln Sie mithilfe dieses Werts die Wahrscheinlichkeit $P_{25;\, 0{,}5}(X \ge 11)$.

(2)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(3)

Geben Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit $P_{25;\, 0{,}5}(X \le 12)$ an.

e) Betrachtet werden die mathematischen Ansätze I, II und III:

$$\text{I}\quad \binom{n}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^n \le 0{,}2$$

$$\text{II}\quad n \cdot p = 12 \cdot 0{,}2$$

$$\text{III}\quad \binom{12}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{12} + \binom{12}{1} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{11} + \binom{12}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{10}$$

Zwei der drei Ansätze lassen sich jeweils einem der nachstehenden Arbeitsaufträge A, B bzw. C zuordnen. Alle drei Arbeitsaufträge betreffen eine binomialverteilte Zufallsgröße. Für einen Ansatz gibt es keinen passenden Arbeitsauftrag, und für einen Arbeitsauftrag gibt es keinen passenden Ansatz.

A Gegeben sind die Parameter $n = 12$ und $p = 0{,}7$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge.

B Gegeben ist der Parameter $p = 0{,}3$. Die Wahrscheinlichkeit, keinen Erfolg zu erzielen, soll maximal $20\,\%$ betragen. Ermitteln Sie die Anzahl der Versuche.

C Gegeben sind die Parameter $n = 12$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge.

(1)

Entscheiden Sie, welchem mathematischen Ansatz die jeweiligen Arbeitsaufträge zugeordnet werden können.

(2)

Geben Sie für den Ansatz ohne zugeordneten Arbeitsauftrag einen passenden Arbeitsauftrag an.

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dazu dient für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208) \cdot e^{-0{,}1x - 5{,}7} + 7 \, \quad x \in \mathbb{R},$$ als Modell. Hierbei beschreibt $x$ das Alter in Jahren und $f(x)$ die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Für $x = 0$ ist der Zeitpunkt der Geburt gemeint. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

a) (1)

Bestimmen Sie $f(3)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Aufgabe.

a) (2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration über $80\text{ pg/ml}$ liegt.

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dazu dient für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208) \cdot e^{-0{,}1x - 5{,}7} + 7 \, \quad x \in \mathbb{R},$$ als Modell. Hierbei beschreibt $x$ das Alter in Jahren und $f(x)$ die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Für $x = 0$ ist der Zeitpunkt der Geburt gemeint. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

Teilaufgabe a)

(3)

Bestimmen Sie, wie groß die durchschnittliche Änderungsrate der Tageshöchstkonzentration zwischen dem 20. und dem 40. Lebensjahr ist.

(4)

Bestimmen Sie rechnerisch, bei welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach der Modellierung ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an.

[Zur Kontrolle: $f'(x) = (-5{,}8x^2 - 884x + 9979{,}2) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7}$ und $x_{\max} \approx 10{,}6$.]

(5)

Ermitteln Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration laut Modellierung am stärksten sinkt.

Teilaufgabe b)

(1)

Bestimmen Sie die lokalen Extrempunkte der Funktion $h$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. Geben Sie die Extremstellen hierbei als Uhrzeiten mit Stunden und Minuten an.

(2)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration im Intervall $[0; 8]$ bei $t = 4$ maximal ist.

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dazu dient für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208) \cdot e^{-0{,}1x - 5{,}7} + 7 \, \quad x \in \mathbb{R},$$ als Modell. Hierbei beschreibt $x$ das Alter in Jahren und $f(x)$ die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Für $x = 0$ ist der Zeitpunkt der Geburt gemeint. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

a) (6)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a;b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Tageshöchstkonzentration für das Lebensalter von 5 bis 15 Jahren.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent dieser Wert vom Maximalwert der Tageshöchstkonzentration abweicht (aus Teilaufgabe a(4): ca. 137,675 pg/ml).

%

Am Anfang ($t = 0$) liegt die Hormonkonzentration bei 20 pg/ml.

b) (3)

Ermitteln Sie diejenigen Zeitpunkte im Beobachtungszeitraum, an denen die Hormonkonzentration 40 pg/ml erreicht.

h

h

b) (4)

Zeigen Sie, dass die Hormonkonzentration am Anfang ($t = 0$) und am Ende ($t = 8$) des Beobachtungszeitraums gleich groß ist.

b) (5)

Die Tageshöchstkonzentration tritt im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens auf ($0 \leq t \leq 8$).

Ermitteln Sie mithilfe von $h$ die höchste Hormonkonzentration (Tageshöchstkonzentration).

Bestimmen Sie unter Verwendung der Funktion $f$ ein mögliches Alter einer Person mit dieser Tageshöchstkonzentration. (Die Angabe eines der möglichen Alter reicht aus.)

Jahre

Aufgabenstellung:

Die Funktionen $f$ und $t$ sind durch die folgenden Gleichungen festgelegt:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$ und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt, wie sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\mathrm{d}x$ ermitteln lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},$

$A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$

a)

(1) Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Wendepunktes $W$ am Graphen von $f$.

$W($ $\mid$ $)$

(2) (i) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Wendepunkt $W(4 \mid f(4))$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt.

(ii) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $t$ in Abbildung 1 ein.

d)

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x) = t(x) \cdot e^{-\frac{1}{4}x}, x \in \mathbb{R}$, dargestellt. Für jede reelle Zahl $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$ ist durch die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$ gegeben.

(1) Als Beispiel ist in Abbildung 4 das Dreieck $PQ_3R_3$ ($u = 3$) eingezeichnet. Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(3)$ des Dreiecks $PQ_3R_3$ gilt: $A(3) \approx 2{,}48\text{ FE}$.

(2) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ eines Dreiecks $PQ_uR_u$ folgender Gleichung genügt:$$A(u) = \left(-\frac{3}{4}u^2 + 4u\right) \cdot e^{-\frac{1}{4}u}$$

(3) Ermitteln Sie gerundet auf drei Nachkommastellen diejenigen Werte von $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$, für die die zugehörigen Dreiecke $PQ_uR_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ besitzen.

$u_1 \approx$, $u_2 \approx$

(4) Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

$u \approx$

Aufgabenstellung:

Die Funktionen $f$ und $t$ sind durch die folgenden Gleichungen festgelegt:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$ und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt, wie sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\mathrm{d}x$ ermitteln lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},$

$A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$

c) Die Funktion $p$ ist quadratisch und besitzt die folgenden Eigenschaften:

$p$ und $f$ haben dieselben Nullstellen.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p$ liegt auf dem Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Gleichung der Funktion $p$.

[Zur Kontrolle: $p(x) = -\frac{3}{8}\cdot x^2 + \frac{9}{4}\cdot x$.]

$p(x) =$

Aufgabenstellung:

Die Funktionen $f$ und $t$ sind durch die folgenden Gleichungen festgelegt:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$ und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt, wie sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\mathrm{d}x$ ermitteln lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},$

$A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$

a) (3)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der von der $y$-Achse sowie den Graphen von $t$ und $f$ begrenzt wird.

FE

b)

In Abbildung 2 wird ein Verfahren dargestellt, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Flächeninhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\,\mathrm{FE}$, $A_2 \approx 3{,}563\,\mathrm{FE}$, $A_4 \approx 2{,}688\,\mathrm{FE}$, $A_5 \approx 1{,}313\,\mathrm{FE}$, $A_6 \approx 0{,}313\,\mathrm{FE}$.

(1) Zeigen Sie, dass gilt: $A_3 \approx 3{,}688\,\mathrm{FE}$.

(2) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der mit dem gezeigten Verfahren erhaltene Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ vom exakten Wert abweicht.

%

c)

Betrachtet wird die quadratische Funktion $p(x) = -\frac{3}{8}x^2 + \frac{9}{4}x$.

(2) (i) Ermitteln Sie $\int_0^6 (f(x) - p(x))\,\mathrm{d}x$.

(2) (ii) Die Graphen von $f$ und $p$ begrenzen jeweils zusammen mit der $x$-Achse eine Fläche. Interpretieren Sie das Ergebnis aus (i) bezüglich der Größe dieser beiden Flächen.

(3) Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f$ und $p$.

Die linke schraffierte Fläche hat den Inhalt $A_{\text{links}}$ mit $A_{\text{links}} = \frac{81}{32}\,\mathrm{FE}$.

Begründen Sie jetzt ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt $A_{\text{rechts}}$ die rechte schraffierte Fläche hat.

FE

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk demnach unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören als Eckpunkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der aufgesetzten kleinen Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an, die zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an.

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich aus den Koordinaten entnehmen.]

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Größen der Innenwinkel im gleichschenkligen Dreieck $B_1B_2C$.

°

°

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk demnach unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören als Eckpunkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der aufgesetzten kleinen Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

c) Die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E$.

(1)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Parameterform.

(2)

Auf der Plattform ist eine Markierung entlang der Geraden $m$ angebracht mit$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden $m$ mit der Ebene $E$.

d) Steht die Sonne exakt im Süden, verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, h \in \mathbb{R}, h > 0$. Der Wert des Parameters $h$ hängt dabei von der Jahreszeit ab. Der Schattenpunkt der Pyramidenspitze liegt nur dann sichtbar auf dem Boden, wenn die Sonne nicht zu hoch steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ liegt der Schattenpunkt der Spitze auf einer Geraden der Schar $g_h$ mit$$g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h > 0.$$

(1)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $h$ der Schattenpunkt der Spitze auf dem Boden sichtbar ist.

[Hinweis: Die Ausmaße der Plattform können außer Acht gelassen werden.]

Am 22. September 2021 dauern Tag und Nacht gleich lang.

Über den ganzen Tag bewegt sich der Schattenpunkt der Spitze geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur $x_1$-Achse.

Zur Mittagszeit steht die Sonne an diesem Tag exakt im Süden und erscheint unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr. Dies entspricht näherungsweise $h = 0{,}79$.

(2)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schattenpunktes zu dieser Zeit und geben Sie eine Gleichung in Parameterform für die Gerade an, auf der sich der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 bewegt.

Für Online-Werbung geben Unternehmen oft viel Geld aus und schalten dafür häufig eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Je nach Suchanfrage der Nutzer wird die Anzeige angezeigt. Klickt man sie an, gelangt man auf die Webseite des Unternehmens.

Firma A stellt fest, dass 40 % der Besuche auf ihrer Webseite von einer Anzeige bei einer Suchmaschine stammen. Von diesen Besuchern erwerben 30 % ein Produkt. Kommt ein Besuch nicht über eine solche Anzeige zustande, kommt es nur in 10 % der Fälle zu einem Kauf.

Betrachtet werden im Weiteren ausschließlich Aufrufe der Unternehmenswebseite, die über eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter erfolgen. Zur Vereinfachung soll gelten, dass die Anzeige jeder Person nur ein einziges Mal gezeigt wird.

Eine Anzeige wird $n$-mal gezeigt. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Modellhaft wird vorausgesetzt, dass $X$ binomialverteilt ist.

Auch Firma B schaltet eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter. Innerhalb eines Monats wurde sie 800-mal gezeigt. Man nimmt an, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}2$ ist.

a) (1) Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar.

(2)

Bestimmen Sie den Anteil der Webseitenbesuche, bei denen ein Produkt gekauft wird.

(3)

Ein Kunde erwirbt über die Webseite der Firma A ein Produkt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Kunde durch eine eingeblendete Anzeige auf die Webseite gekommen ist.

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Firma A stellt fest, dass 40 % der Besuche auf ihrer Webseite von einer Anzeige bei einer Suchmaschine stammen. Von diesen Besuchern erwerben 30 % ein Produkt. Kommt ein Besuch nicht über eine solche Anzeige zustande, kommt es nur in 10 % der Fälle zu einem Kauf.

Betrachtet werden im Weiteren ausschließlich Aufrufe der Unternehmenswebseite, die über eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter erfolgen. Zur Vereinfachung soll gelten, dass die Anzeige jeder Person nur ein einziges Mal gezeigt wird.

Eine Anzeige wird $n$-mal gezeigt. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Modellhaft wird vorausgesetzt, dass $X$ binomialverteilt ist.

Auch Firma B schaltet eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter. Innerhalb eines Monats wurde sie 800-mal gezeigt. Man nimmt an, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}2$ ist.

Auch Firma B lässt bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige laufen. Innerhalb eines Monats wird diese Anzeige 800-mal angezeigt. Man nimmt an, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}2$ ist.

b)

(1) (i) Es gilt: $P_{800;0{,}2}(X = 160) \approx 0{,}0352$.

Interpretieren Sie diese Aussage im Kontext der Aufgabe.

(ii) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens 180 Webseitenaufrufe.

(iii) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als 170 Webseitenaufrufe.

(2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der Webseitenaufrufe mehr als 5 vom Erwartungswert entfernt liegt.

(3) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Einblendungen der Anzeige, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Webseitenaufruf stattfindet.

c)

Für 800 angezeigte Anzeigen bietet der Suchmaschinenanbieter Firma B zwei Bezahlmodelle an. Bei Option 1 zahlt Firma B pro angezeigter Anzeige 0,06 €. Bei Option 2 werden nur die Webseitenaufrufe berechnet, dafür verlangt der Anbieter jedoch 0,28 € je Webseitenaufruf.

(1) Bestimmen Sie die größte Anzahl an Webseitenaufrufen, bei der Option 2 günstiger ist als Option 1.

(2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma bei Option 2 weniger zahlt.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

a) (1)

Bestimmen Sie den Wert der Nullstelle $x_n$.

[Zur Überprüfung: Auf zwei Nachkommastellen gerundet gilt $x_n \approx 22{,}44$.]

c) (1)

Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_1$ trifft in einer Höhe von $3\text{ cm}$ auf die obere Randlinie und ist dort mit ihr verbunden.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle diese Verbindung liegt.

c) (2)

Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_2$ liegt auf einer Geraden, welche die $x$-Achse im Punkt $P_1(6|0)$ unter einem Winkel von $45^\circ$ schneidet.

Ermitteln Sie rechnerisch, in welchem Punkt diese Strebe die obere Randlinie erreicht.

$P_2($

$|$

$)$

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

a) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß der vertikale Abstand zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen höchstens ist.

b)

Ermitteln Sie, an welcher Stelle die obere Randlinie am stärksten ansteigt und an welcher Stelle sie am stärksten fällt.

e)

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen. Für $2 \le x \le 19$ wird sein Verlauf durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500} \cdot (x-2) \cdot (x-19) \cdot (x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschrieben.

Bestimmen Sie für das Intervall $[2; 19]$ sowohl den kleinsten als auch den größten vertikalen Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem Bogen, den $g$ beschreibt.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

d)

Der Bereich, der von der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen begrenzt wird, soll mit Stoff überzogen werden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Bereichs.