Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-k\cdot x^2$, wobei $k$ eine positive reelle Zahl bezeichnet. Den Graphen von $f$ sehen Sie in Abbildung 1.

(1)

Zeigen Sie, dass die erste Ableitungsfunktion von $f$ durch die Gleichung $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ gegeben ist.

(2)

Beide Tiefpunkte des Graphen von $f$ besitzen die y-Koordinate $-1$. Ermitteln Sie den Wert von $k$.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15$, $x \in \mathbb{R}$. $F$ bezeichnet eine Stammfunktion von $f$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Interpretieren Sie die Gleichung $F(5) - F(1) = 0$ im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f$.

(2)

Berechnen Sie $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2+2x)\cdot e^{-x+4}$ und $x \in \mathbb{R}$.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 3.

(1) Die Funktion $f$ hat genau zwei Extremstellen.

Ermitteln Sie beide Extremstellen der Funktion $f$.

Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.

$x_1$:

$x_2$:

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2+2x)\cdot e^{-x+4}$ und $x \in \mathbb{R}$.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 3.

(2) Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Verlauf des Graphen der ersten Ableitung von $f$.

Hinweis: Auf die genauen y-Werte kommt es dabei nicht an.

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird mittels der Gleichung

$$f_a(x) = \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für $a = 0$.

(1)

Nur für einen einzigen Wert von $a$ hat die Funktion $f_a$ genau eine Nullstelle.

Ermitteln Sie diesen Wert für $a$.

$a =$

Zu jedem $a \in \mathbb{R}$ wird mittels der Gleichung

$$f_a(x) = \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_a$ festgelegt.

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $f_a$ für $a = 0$.

(2)

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $a$, für die der Graph der Funktion $f_a$ den Punkt $P(3 \mid 90e^3)$ enthält.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p$.

Für den Erwartungswert von $X$ gilt $50$.

(1)

Berechnen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Es gilt näherungsweise $P(X \ge 61)$ = $2\,\%$.

Bestimmen Sie mithilfe dieses Wertes die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$.

Wer an einem Gewinnspiel teilnehmen möchte, zahlt einen Einsatz von $3\text{ Euro}$. Die Zufallsgröße $A$ gibt die Auszahlung in Euro an. In Abbildung 5 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass für $p$ der Wert $\frac{1}{6}$ gilt.

(2)

Wird das Spiel oft wiederholt, sollen sich langfristig Einsätze und Auszahlungen erwartungsgemäß ausgleichen.

Berechnen Sie $b$.

(3)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich das Gewinnspiel mit einem Behälter und roten, grünen sowie blauen Kugeln umsetzen ließe.

Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

f(x)=10\cdot(x-1)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot e^{-3}\cdot x+50\cdot e^{-3}\, \ x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die in b) (1) angegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2\mid f(2))$ des Graphen von $f$. Zwischen der $y$-Achse, $g$ und dem Graphen von $f$ liegt eine Fläche (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Der Punkt $Q_u(u\mid f(u))$, $0 < u < 2$, liegt auf dem Graphen von $f$. Die Geraden durch $Q_u$, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, heißen $p_x$ und $p_y$. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ umschließen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

Die Funktion $f$ ist ein Mitglied der Schar $h_a$ mit

h_a(x)=10\cdot(x-a)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\, \ a \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $h_a$ hat genau einen Wendepunkt $W_a$.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $f$ ausschließlich an der Stelle $x = 1$ eine Nullstelle besitzt.

Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

f(x)=10\cdot(x-1)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot e^{-3}\cdot x+50\cdot e^{-3}\, \ x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die in b) (1) angegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2\mid f(2))$ des Graphen von $f$. Zwischen der $y$-Achse, $g$ und dem Graphen von $f$ liegt eine Fläche (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Der Punkt $Q_u(u\mid f(u))$, $0 < u < 2$, liegt auf dem Graphen von $f$. Die Geraden durch $Q_u$, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, heißen $p_x$ und $p_y$. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ umschließen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

Die Funktion $f$ ist ein Mitglied der Schar $h_a$ mit

h_a(x)=10\cdot(x-a)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\, \ a \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $h_a$ hat genau einen Wendepunkt $W_a$.

a)

(2) Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen $f$ lokale Extrema besitzt.

b)

(1) Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3},\ x\in\mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ darstellt.

(2) Die Tangente aus b) (1) schneidet beide Koordinatenachsen; die Schnittpunkte begrenzen eine Strecke.

Berechnen Sie deren Länge.

c)

(2) Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks, wenn $Q_u$ dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse entspricht.

(3) Untersuchen Sie, um wie viel Prozent der Wert aus (2) höchstens gesteigert werden kann, wenn $Q_u(u\mid f(u))$ an einer anderen Stelle mit $0 < u < 2$ liegt.

%

d)

(1) Ermitteln Sie die Stelle, an der der Graph einen Wendepunkt hat.

[Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss hier nicht nachgewiesen werden.]

(2) $t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a(a+2\mid h_a(a+2))$. Eine Gleichung für $t_a$ ist $$y = -10\cdot e^{-a-2}\cdot x + 10\cdot(a+4)\cdot e^{-a-2}$$Für $a \neq -4$ schließt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Leiten Sie einen Term für dessen Flächeninhalt $A_D$ her.

[Mögliche Lösung: $A_D(a) = 5\cdot(a+4)^2\cdot e^{-a-2}$]

(3) Ermitteln Sie sämtliche Werte von $a$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks $10\text{ FE}$ beträgt.

e)

(1) Die Gerade $l_a$ verläuft durch den Wendepunkt $W_a(a+2\mid h_a(a+2))$ und steht dort senkrecht auf der Tangente $t_a$.

Ermitteln Sie eine Gleichung für $l_a$.

[Mögliche Lösung: $y = \frac{e^{a+2}}{10}\cdot x + \frac{200 - (a+2)e^{2a+4}}{10\cdot e^{a+2}}$]

[Hinweis: Folgende Aussage dürfen Sie ohne Beweis verwenden: Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn für ihre Steigungen $m_1 \cdot m_2 = -1$ gilt.]

(2) Der Graph von $h_a$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $N_a$.

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den $l_a$ durch $N_a$ geht.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung

f(x)=10\cdot(x-1)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot e^{-3}\cdot x+50\cdot e^{-3}\, \ x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Im Intervall $[1;5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in b) (1) gegebene Tangente zusammen mit der $x$-Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2\mid f(2))$ des Graphen von $f$. Die $y$-Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

$Q_u(u\mid f(u))$, $0 < u < 2$, ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a$, die gegeben ist durch

h_a(x)=10\cdot(x-a)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\, \ a \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a$.

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

a) (2)

Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie Ihre Angabe.

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

a)

(1) Berechnen Sie für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten seiner Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten seines Extrempunktes.

Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen von $f_1$ ein.

(3) Für alle Werte von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, welche Schlussfolgerung sich aus I und II für die Anzahl und die Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu denen des Graphen von $f_a$ ziehen lässt. Begründen Sie Ihre Angabe auf der Grundlage von I und II.

b)

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\middle| f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\middle| g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$.

Den Schnittpunkt der beiden Tangenten nennt man $S_a$.

(1) Weisen Sie nach, dass $S_a$ unabhängig vom Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt.

(2) Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ schneidet $t_{f_a}$ in $F_a$ und $t_{g_a}$ in $G_a$. Bei keinem Wert von $a$ liegt im Dreieck $S_a G_a F_a$ am Punkt $S_a$ ein rechter Winkel vor. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Untersuchen Sie, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}$ mit $a>0$ das Dreieck $S_a G_a F_a$ rechtwinklig ist.

c)

(1) Berechnen Sie in Prozent die maximale Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen. [Hinweis: Randwerte brauchen nicht untersucht zu werden.]

%

(3) Untersuchen Sie, in welchen Bereichen das Seil vertikal mindestens $3\text{ m}$ von der Piste entfernt ist.

Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\text{ m}$ hat.

m

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0$, $c > 0$ beschrieben werden.

(2)

Bestimmen Sie die beiden Werte $b$ und $c$.

[Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$]

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Pistenabschnitt grau dar; hierfür wurde Abbildung 2 entlang der $y$-Achse stärker gestreckt als entlang der $x$-Achse. Der Boden unter dem Schnee wird für $0 \leq x \leq 5$ von der $x$-Achse wiedergegeben. Für den restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass die vertikal gemessene Schneehöhe $60\text{ cm}$ beträgt.

(4)

Bestimmen Sie das Gesamtvolumen des Schnees, der auf der ganzen Piste liegt.

Aufgabenstellung

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, z. B. zum Öffnen eines Tresors, nicht von einer einzelnen Person gekannt wird, sondern nur gemeinsam von mehreren Personen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen: Sie geben ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem ein, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der gesuchte geheime Code stets dreistellig ist.

a) (1) Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeiter kennen jeweils die Koordinaten genau eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Der geheime Code ergibt sich aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(i)

Die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ werden in das System eingegeben.

Berechnen Sie den geheimen Code.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Einem vierten Mitarbeiter ist der Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis bekannt. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(2) Das System verarbeitet nicht nur Koordinaten von Punkten einer Ebene, sondern auch andere Angaben zur Ebene, etwa die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H$.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Geschäftsführerin den geheimen Code schon gemeinsam mit irgendeinem der vier eingeweihten Mitarbeiter ermitteln kann.

(ii)

Berechnen Sie einen Normalenvektor von $H$.

Aufgabenstellung

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, z. B. zum Öffnen eines Tresors, nicht von einer einzelnen Person gekannt wird, sondern nur gemeinsam von mehreren Personen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen: Sie geben ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem ein, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der gesuchte geheime Code stets dreistellig ist.

b)

In einem weiteren Unternehmen bilden die ersten drei Ziffern der ungerundeten Dezimaldarstellung des Volumens einer quadratischen Pyramide den geheimen Code. Die quadratische Grundfläche dieser Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 + 4x_3 = 9$. Die Geschäftsführerin kennt die Koordinaten der Pyramidenspitze $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$. Jeder Mitarbeitende kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten genau eines Eckpunkts der Grundfläche. Drei Mitarbeitende und die Geschäftsführerin geben ihre Teilgeheimnisse $(1|1|3)$, $(1|6|3)$, $(5|1|6)$ und $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$ ein.

c)

Bei einem weiteren Unternehmen besteht der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$. Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I(4|3|2)$ bzw. $J(8|6|-1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Basisendpunkte $\overline{IJ}$. Ein dritter eingeweihter Mitarbeiter kennt mit $K(6|5|1)$ die Koordinaten der Spitze des Dreiecks $IJK$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code. [Zur Kontrolle: Er lautet 707.] [2 Punkte]

(3)

Der Punkt $L(6|4|0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeitender zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln. Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines Punktes $P$ erhalten, der wie $K$ bzw. $L$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $P$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(i)

Beschreiben Sie, wo geeignete Punkte liegen. [2 Punkte]

(ii)

Aus Sicherheitsgründen soll $P$ weder mit $K$ noch mit $L$ übereinstimmen. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$. [Hinweis: Die Koordinaten von $P$ dürfen auch nicht ganzzahlig sein.] [3 Punkte]

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden im Jahr 2018 etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden in diesem Jahr bestanden.

Wenn eine Fahrschule $n$ praktische Prüfungen durchführt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils an, wie viele dieser Prüfungen bestanden werden. Vereinfachend gilt die Annahme, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

a) Für das Jahr 2021 werden an einem Düsseldorfer Standort einer Fahrschulkette insgesamt 250 praktische Führerscheinprüfungen erwartet. Das Modell unterstellt, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}7$ ist.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

E1:

„Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2:

„Es werden mehr als 80 % der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3:

„Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

(2)

(i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens 165 praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii)

Ermitteln Sie den kleinsten Wert der Zahl $k$, für den die Wahrscheinlichkeit, mindestens $k$ praktische Prüfungen zu bestehen, höchstens 60 % beträgt.

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden im Jahr 2018 etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden in diesem Jahr bestanden.

Wenn eine Fahrschule $n$ praktische Prüfungen durchführt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils an, wie viele dieser Prüfungen bestanden werden. Vereinfachend gilt die Annahme, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

b)

Eine Fahrschulkette will im Jahr 2022 in Soest eine neue Filiale eröffnen. Im Jahr 2022 sollen dort auch die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat erheblich in die digitale Ausstattung dieses Standorts investiert und rechnet deshalb mit so hohen Ausbildungsstandards, dass durchschnittlich mehr als $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Hinweis darauf zu erhalten, ob die Qualität diese Erwartung erfüllt, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen beträgt höchstens $70\,\%$“ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

(1)

Erläutern Sie, bei welcher Art von Fehler die Zentrale durch die gewählte Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit gering halten will. [2 Punkte]

(2)

Die Zentrale rechnet damit, dass im Jahr 2022 $200$ Prüfungen stattfinden.

Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel. [4 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale die Ausbildungsqualität als nicht erwartungsgemäß einstuft, obwohl tatsächlich jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ bestanden wird. [3 Punkte]

c)

Eine weitere Fahrschulkette erstellt für ihren Standort Bielefeld eine Prognose für 2021. Mit den Sigma-Regeln ergab sich, dass die Zahl der bestandenen praktischen Fahrprüfungen mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\,\%$ im Intervall $[242{,}6; 267{,}4]$ liegt.

(1)

Bestimmen Sie den passenden Erwartungswert $\mu$ sowie die passende Standardabweichung $\sigma$. [2 Punkte]

(2)

Ermitteln Sie unter Verwendung der Werte aus (1) den Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße. [3 Punkte]

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 0$ beschrieben werden.

a)

Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Höhe als auch die Länge der Brücke.

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.]

c)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die beim Überqueren der Brücke bewältigt werden muss.

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 0$ beschrieben werden.

b)

Gegeben ist der Punkt der oberen Randlinie, an dem das mittlere Bauteil in das rechte übergeht.

Prüfen Sie, ob dieser Punkt genau in der Mitte der Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und ihrem rechten Endpunkt liegt.

[3 Punkte]

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\, a > 0$ beschrieben werden.

d)

In der Abbildung trägt die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils die Bezeichnung $s$.

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $a$, für die diese Länge mindestens $0{,}1\text{ dm}$ beträgt.

[4 Punkte]

e)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass beliebig große Werte von $a$ zur Darstellung der unteren Randlinie nicht geeignet sind.

[2 Punkte]

In der Planungsphase wurden für die obere Randlinie beim linken Bauteil eine Funktion $g_l$ und beim rechten Bauteil eine Funktion $g_r$ erwogen. Mit diesen Funktionen wäre die obere Randlinie ebenfalls achsensymmetrisch gewesen.

g)

Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, ob die folgenden Eigenschaften für die Funktionen $g_l$ und $g_r$ gelten.

[4 Punkte]

(1) $-g_l(x) = g_r(-x)$ für $-2 \le x \le -1$

(2) $g_l(x-1) = g_r(-x+1)$ für $-1 \le x \le 0$

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 0$ beschrieben werden.

f)

Bei der Brücke ist $a = 1{,}25$ gewählt. Ihre drei Bauteile bestehen aus massivem Holz, von dem $1\text{ dm}^3$ eine Masse von $800\text{ Gramm}$ hat. Die Breite der Brücke beträgt $0{,}4\text{ dm}$.

Ermitteln Sie, welche Masse das mittlere Bauteil hat.