Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Nachtermin · CAS

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$f(x) = 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Wählen Sie eine der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ aus und geben Sie mit Begründung an, welcher der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ zu ihr passt.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$f(x) = 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2)

Berechnen Sie das Integral $\int_{-2}^0 g(x)\,\mathrm{d}x$.

b) Gegeben ist für einen Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 + 2ax, \ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie anhand der Nullstellen von $f$, die in der Abbildung zu erkennen sind, den Wert des Parameters $a$.

$a =$

b) Gegeben ist für einen Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 + 2ax, \ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

$F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x$, für die $F(3) = 1$ gilt.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion $F$.

$F(x) =$

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$f(x) = 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) Bei $x = 4$ liegt eine Nullstelle vor.

(1) Man verwendet diesen Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Der Funktionsterm von $f$ ergibt sich aus folgendem Gleichungssystem:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

(1)

Begründen Sie unter Verwendung der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösungen dieses Gleichungssystems.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

Betrachtet werden die Punkte $A(2|1|2)$, $B(1|4|-2)$ sowie $C_u(u|2u|u)$ mit $u \in \mathbb{R}$.

d) (1) Bestimmen Sie $u$ so, dass das Dreieck $ABC_u$ im Punkt $A$ rechtwinklig ist.

$u =$

Betrachtet werden die Punkte $A(2|1|2)$, $B(1|4|-2)$ sowie $C_u(u|2u|u)$ mit $u \in \mathbb{R}$.

d) (2) Geben Sie eine Gleichung derjenigen Geraden $g$ an, auf der alle Punkte $C_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen.

Betrachtet werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit$$f(x) = 2x^3 + 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x) = 2x^3 - 8x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$h(x) = 2x^3 + 8x^2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

e) Gegeben sind der Punkt $P(1|5|-4)$ und die Ebene $E$ mit der Gleichung

$$E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix},\quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ in der Ebene $E$ liegt.

(2)

Für $a \in \mathbb{R}$ ist eine Gleichung der Geraden $g_a$ gegeben durch

$$g_a:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\quad r \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$ so, dass der Richtungsvektor der Geraden $g_a$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene verläuft.

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade $g_{0{,}5}:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix},\quad r \in \mathbb{R}$ in der Ebene $E$ verläuft.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Wählen Sie eine der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ aus und geben Sie mit Begründung an, welchen der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ man ihr zuordnen kann.

f

g

h

A

B

C

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2)

Berechnen Sie das Integral $\int\limits_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$ und geben Sie seinen Wert an.

b) Gegeben ist für einen Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie anhand der Nullstellen von $f$, die in der Abbildung zu erkennen sind, den Wert des Parameters $a$.

$a =$

b) Gegeben ist für einen Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Die Funktion $F$ ist jene Stammfunktion von $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x$, die die Bedingung $F(3) = 1$ erfüllt.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $F$.

$F(x) =$

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades liegen folgende Informationen vor:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0 \mid 4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1)

Es wird der folgende Ansatz verwendet:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Die Gleichung der Funktion $f$ wird mit dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie die zweite und dritte Gleichung des Gleichungssystems mithilfe der Informationen (i), (ii) bzw. (iii).

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

d) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Die Zufallsgröße $X$ hat einen Erwartungswert, der mit ihrer Standardabweichung übereinstimmt.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch $P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Die Zufallsgröße $X$ kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

wahr

falsch

Für ein Glücksspiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln insgesamt zwei Kugeln gezogen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A entnommen.

Ist diese Kugel schwarz, folgt im Anschluss eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(1)

Zeigen Sie, dass bei diesem Spiel genau eine schwarze Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}7$ gezogen wird.

Für ein Glücksspiel stehen die beiden unten abgebildeten Urnen zur Verfügung, die schwarze und weiße Kugeln enthalten:

In diesem Spiel werden nach diesen Regeln insgesamt zwei Kugeln gezogen:

Als Erstes wird zufällig eine Kugel aus Urne A entnommen.

Ist diese Kugel schwarz, folgt im Anschluss eine zufällige Ziehung einer Kugel aus Urne B.

Ist die aus Urne A gezogene Kugel dagegen weiß, wird ohne Zurücklegen zufällig noch eine zweite Kugel aus Urne A gezogen.

(2)

Man spielt das Spiel 10-mal.

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass in mindestens 9 dieser Spiele genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(1)

Geben Sie begründet an, welcher der Graphen $A$, $B$ bzw. $C$ zu einer der drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ passt.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

(2)

Berechnen Sie, welchen Wert das Integral $\int\limits_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$ annimmt.

b) Gegeben ist für einen Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Ermitteln Sie den Wert des Parameters $a$, indem Sie die in der Abbildung erkennbaren Nullstellen von $f$ heranziehen.

b) Gegeben ist für einen Parameterwert $a \in \mathbb{R}$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 + 2ax, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

$F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x^2-4x$, für die $F(3)=1$ gilt.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung dieser Stammfunktion $F$.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

c) Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades liegen folgende Informationen vor:

(i) An der Stelle $x = 2$ befindet sich ein lokales Extremum.

(ii) Der Punkt $W(0\mid 4)$ ist ein Wendepunkt.

(iii) $x = 4$ ist eine Nullstelle.

(1)

Es wird der folgende Ansatz verwendet:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,\quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Die Gleichung der Funktion $f$ wird mit dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:

$\begin{aligned}

d &= 4 \\

64a + 16b + 4c + d &= 0 \\

12a + 4b + c &= 0 \\

2b &= 0

\end{aligned}$

Begründen Sie die zweite und dritte Gleichung des Gleichungssystems mithilfe der Informationen (i), (ii) bzw. (iii).

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

d) Gegeben sind der Punkt $P(1|5|-4)$ und die Ebene $E$ mit der Gleichung$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $P$ in der Ebene $E$ liegt.

$s =$ $t =$

(2)

Für $a \in \mathbb{R}$ ist eine Gleichung der Geraden $g_a$ gegeben durch$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$ so, dass der Richtungsvektor der Geraden $g_a$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene verläuft.

$a =$

(3)

Begründen Sie, dass die Gerade$$g_{0{,}5}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}$$in der Ebene $E$ verläuft.

Es werden die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ betrachtet, die wie folgt definiert sind:

$$f(x)=2x^3+8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=2x^3-8x, \; x \in \mathbb{R},$$$$h(x)=2x^3+8x^2, \; x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f$, $g$ und $h$.

e) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}2$.

Entscheiden Sie bei jeder der nachstehenden Aussagen zur Zufallsgröße $X$, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils.

(1)

Die Zufallsgröße $X$ hat einen Erwartungswert, der mit ihrer Standardabweichung übereinstimmt.

wahr

falsch

(2)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Erfolge lässt sich durch $P(X = 2) = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2$ berechnen.

wahr

falsch

(3)

Die Zufallsgröße $X$ kann ein Zufallsexperiment beschreiben, bei dem aus einer Urne mit einer schwarzen Kugel und vier weißen Kugeln nacheinander vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

wahr

falsch

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R} \text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

a)

(1) Bestimmen Sie durch Rechnung sowohl die Koordinaten als auch die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

(2) Die Funktion $f$ besitzt im Intervall $[0,5; 2]$ die Nullstelle $x_0$.

(i)

Zeigen Sie, dass die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Nullstelle nicht am größten ist.

(ii)

Bestimmen Sie eine Stelle $z \neq x_0$, an der der Graph von $f$ dieselbe Steigung aufweist wie an der Stelle $x_0$.

c)

Abbildung 3 zeigt neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 | f(2))$ berührt.

(1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie alle Zahlen in dieser Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0,22x - 0,186$ ist eine Gleichung von $g$ mit auf weniger Nachkommastellen gerundeten Zahlen.]

(3) Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Länge nach oben verschoben, ergibt sich der Graph einer Funktion $k$, den $g$ ebenfalls als Tangente berührt. Abbildung 4 zeigt die Graphen von $f$ und $k$ zusammen mit der gemeinsamen Tangente $g$.

(i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist. Zeichnen Sie diese Tangente in Abbildung 4 ein.

(ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$, auf vier Nachkommastellen gerundet.

[Zur Kontrolle: Für die $x$-Koordinate von $Q$ gilt $x_Q \approx 0,59$.]

(iii)

Ermitteln Sie die Verschiebung, durch die der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Der Funktionsterm muss nicht vereinfacht werden.]

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R} \text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

b) (2)

Betrachtet wird die Gleichung $\int_0^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

Ihre beiden Lösungen $b_1$ und $b_2$ werden in Abbildung 2a bzw. Abbildung 2b veranschaulicht.

(i)

Berechnen Sie $b_1$ und $b_2$.

(ii)

Erläutern Sie anhand der beiden Abbildungen, warum $b_1$ und $b_2$ die genannte Gleichung lösen.

(iii)

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{b_1}^{b_2} f(x)\,\mathrm{d}x$ an, ohne weiter zu rechnen.

Teilaufgabe c) (2)

In Abbildung 3 ist zusätzlich zum Graphen der Funktion $f$ die Tangente $g$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ dargestellt.

Außer dem Berührpunkt $P(2 \mid f(2))$ besitzen der Graph von $f$ und die Tangente $g$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt $S(x_S \mid f(x_S))$.

[Hinweis aus c)(1): Die Tangente $g$ hat die Gleichung $y = 0{,}2198x - 0{,}1861$.]

c) (2)

Der Graph von $f$ und die Tangente $g$ begrenzen eine gemeinsame Fläche.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

(ii)

Bestimmen Sie, welcher prozentuale Anteil dieser Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt.

%

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, einigen hundert Drohnen sowie einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, und seine Entwicklung wurde anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend nennt man die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$. Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April $(t=50)$ ist.

a) (2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. sinkt.

a) (3)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese Koordinaten im Sachzusammenhang. [Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20s$).]

a) (4)

Das Integral $\displaystyle\int_{9}^{10} f(t)\,dt$ liefert die Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung wird nicht verlangt.] Ermitteln Sie diese Zahl.

a) (5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Durchschnitt pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März $(t=0)$ bis zum Ende des 21. Oktober $(t=232)$.

b) (1)

Nach Ansatz A rechnet der Imker mit einem möglichen Schwärmen der Bienen, sobald die Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag liegt. Ermitteln Sie für Ansatz A den Zeitraum, in dem ein Schwärmen der Bienen zu befürchten ist.

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, einigen hundert Drohnen sowie einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, und seine Entwicklung wurde anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend nennt man die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$. Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Teilaufgabe a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Eine Begründung ist nicht notwendig.]

Ermitteln Sie diese Zahl. [1 Punkt]

Bienen

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Zeitraum vom Anfang des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$) im Mittel täglich schlüpfen. [2 Punkte]

Bienen/Tag

Teilaufgabe b)

Ein Imker verwendet zwei verschiedene Ansätze, um vorherzusagen, wann die Gefahr besteht, dass die Bienen schwärmen („Schwarmzeit“):

• Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

(2)

Die Gleichung $$\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x = 30000$$ besitzt im Beobachtungszeitraum zwei Lösungen. Bestimmen Sie diese und interpretieren Sie die Gleichung samt ihren Lösungen im Zusammenhang der Teilaufgabe b). [6 Punkte]

Teilaufgabe c)

(3)

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind. [4 Punkte]

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, einigen hundert Drohnen sowie einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, und seine Entwicklung wurde anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend nennt man die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$. Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

c) Wegen der hohen Arbeitsbelastung durch Brutpflege, Wachsproduktion und Nahrungssuche leben Bienen nach dem Schlüpfen im Frühjahr und Sommer im Durchschnitt nur etwa 35 Tage („ Sommerbienen “). Dies trifft auf nahezu alle Bienen zu, die vor dem 1. September ($t \le 181$) schlüpfen. Daher sind bis zum Ende des 5. Oktober ($t = 216$) die meisten Sommerbienen gestorben.

Die Sterberate der Sommerbienen (in der Einheit „ Bienen pro Tag “) wird für $35 \le t \le 216$ durch die Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000}t^4 - \frac{1}{30\,000}t^3 - \frac{5}{18}t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert.

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit „ Bienen pro Tag “) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt. [2 Punkte]

(2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Bienenanzahl hat, und begründen Sie Ihre Angabe. [4 Punkte]

Tage nach dem 4. März

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht wiedergibt.

Geben Sie einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene $E_{JKL}$ an:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Stützvektor: ( | |)

c)

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, gestrahlt.

Geben Sie die Darstellung von $\vec{v}_a$ als Linearkombination der Spannvektoren $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ an: $\vec{v}_a = c_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$c_1 =$ und $c_2 =$

Schnittpunkt $P_{x_1x_2}$: ( | |)

d)

Ein Laserstrahl geht von $G$ aus und verläuft längs der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}, s > 0$.

Der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ steht (mit $a = 5$).

Schnittpunkt $S$: $($ $|$ $|$ $)$

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinozentrums bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfachend als Quader $ABCDEFGH$ dargestellt. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

$F$: ( | |)

b)

c)

Ausgehend von Punkt $H$ werden Laserstrahlen entlang der Richtungsvektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, ausgesandt.

$a =$

d)

Von Punkt $G$ aus geht ein Laserstrahl längs der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht auf der Geraden $g$ steht.

$a =$

Aufgabe B4: Nutzungsdauer von E-Scootern

a)

In Deutschland werden E-Scooter immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter genutzt wird, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug durchschnittlich nur 30 Tage im Einsatz, ein privater E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

(1) Ein Hersteller liefert 90 % seiner E-Scooter an Verleihfirmen, die übrigen E-Scooter dieses Herstellers werden privat genutzt.

Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter dieses Herstellers.

(2) Die E-Scooter eines anderen Herstellers werden im Mittel 120 Tage genutzt.

Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter, die dieser Hersteller für private Haushalte herstellt.

Personen, die gelegentlich E-Scooter fahren, heißen in dieser Aufgabe E-Scooter-Nutzende. Vereinfachend soll gelten: Die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, ist binomialverteilt.

b)

E-Scooter kommen vorwiegend in Großstädten zum Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig gewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig gewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich E-Scooter nutzen.

(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

E1: Weniger als 17 der Befragten sind E-Scooter-Nutzende.

E2: Unter den Befragten sind mindestens so viele E-Scooter-Nutzende, wie zu erwarten ist.

(2) Mit dem folgenden unvollständigen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Kontext der oben beschriebenen Stichprobe bestimmt:

$$P(X = \_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_\_\_ \cdot 0{,}1^{15} \cdot \_\_\_\_\_\_\_$$

(i) Vervollständigen Sie den Ansatz und geben Sie ihn an.

(ii) Nennen Sie ein Ereignis im Kontext der oben beschriebenen Stichprobe, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit diesem Ansatz berechnen lässt.

(iii) Interpretieren Sie die Bestandteile der rechten Seite des Ansatzes im Sachzusammenhang.

c)

In einer anderen deutschen Großstadt liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich E-Scooter nutzt, derzeit nur bei 6 %. Ein E-Scooter-Hersteller will $p$ mit einer gezielten Werbekampagne steigern. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig gewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu überprüfen, ob die Kampagne erfolgreich war. Das Unternehmen wertet die Kampagne als erfolgreich, wenn unter den 150 Befragten mindestens 12 E-Scooter-Nutzende sind.

(1) Es wird angenommen, dass sich $p$ nicht verändert hat.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen aufgrund der Befragung trotzdem von einem Erfolg der Werbekampagne ausgehen würde.

(2) Es wird nun angenommen, dass sich $p$ sogar verdoppelt hat.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen in diesem Fall aufgrund der Befragung einen Misserfolg der Kampagne annehmen würde.

(3) Nach der Werbekampagne hat sich die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, verändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Personen höchstens eine Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, beträgt nun 5 %. Der Wert von $p$ lässt sich über den folgenden Ansatz berechnen:

$$(1-p)^{50} + 50 \cdot p \cdot (1-p)^{49} = 0{,}05$$

Geben Sie an, was die beiden Summanden auf der linken Seite der Gleichung im Sachzusammenhang bedeuten.

Wenn Muskeln stark beansprucht werden, bildet sich dort Laktat (Milchsäure). Mit einem Laktattest misst man den Laktatgehalt im Blut und beurteilt so die Fitness eines Sportlers. Bei einem Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2 + x - 19\right)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert zu Beginn und am Ende des Laktatstufentests. [2 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert sein Minimum annimmt. [3 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie, wie groß die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach Beginn ist. [2 Punkte]

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$. [2 Punkte]

[Kontrolllösung: $g: y = 0{,}1846x + 1{,}11$.]

(2)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem nach Verfahren A die IAS erreicht wird. [3 Punkte]

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente in $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ beider Tangenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen. [4 Punkte]

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$.]

(2)

Der Sportler schätzt anhand der Abbildung, dass seine IAS nach ungefähr 35 Minuten erreicht ist. Prüfen Sie, ob der Punkt des Graphen von $f$ zum Zeitpunkt 35,5 Minuten näher an $T$ liegt als der Punkt des Graphen von $f$ zu Minute 35. [3 Punkte]