Abitur NRW Mathematik 2021 · GK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

1 Aufgabe

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$, die Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion $F$ von $f$.

a

Bestimmen Sie ausschließlich mithilfe der Abbildung 2 den Wert des Terms $\int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x$.

b

Beschreiben Sie, wie man den Wert des Terms $\int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ ausschließlich mithilfe der Abbildung 1 bestimmen könnte.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

a

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar. Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - x$.

b

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \sin(x) + 1$.

a)

Bestimmen Sie den Wert des Terms $\int_0^{2\pi} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \sin(x) + 1$.

b)

Der Graph der Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ durch Strecken mit dem Faktor $0{,}2$ in $x$-Richtung und Verschieben um $3$ in positive $y$-Richtung erzeugt werden. Geben Sie einen Funktionsterm von $g$ an.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto 3x \cdot \mathrm{e}^x$.

a

Die Funktion $f$ hat genau eine Extremstelle. Zeigen Sie rechnerisch, dass diese $-1$ ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto 3x \cdot \mathrm{e}^x$.

b

Der Graph einer Stammfunktion $F$ von $f$ verläuft durch den Koordinatenursprung.

Skizzieren Sie – ausschließlich unter Verwendung des Graphen von $f$ – den Graphen von $F$ in der Abbildung.