Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Teil A · Stochastik

Die Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit Ereignissen $A$ und $B$. Für die Wahrscheinlichkeit $p$ gilt $p \neq 0$.

· $B$ · $\overline{B}$

$A$ · $p$ · · $3p$

$\overline{A}$ · · · $1 - 3p$

· $4p$

a

Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel. Zeigen Sie, dass $p$ nicht den Wert $\frac{1}{5}$ haben kann. [3 BE]

· $B$ · $\overline{B}$

$A$ · $p$ · · $3p$

$\overline{A}$ · · · $1-3p$

· $4p$

b

Für einen bestimmten Wert von $p$ sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig. Ermitteln Sie diesen Wert von $p$. [2 BE]

Die Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit Ereignissen $A$ und $B$. Für die Wahrscheinlichkeit $p$ gilt $p \neq 0$.

· $B$ · $\overline{B}$

$A$ · $p$ · · $3p$

$\overline{A}$ · · · $1 - 3p$

· $4p$

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p$. Der Erwartungswert von $X$ ist $50$.

a

Berechnen Sie die Standardabweichung von $X$. [3 BE]

b

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \ge 61)$ beträgt etwa $2\,\%$. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \le X \le 60)$. [2 BE]

Die Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit Ereignissen $A$ und $B$. Für die Wahrscheinlichkeit $p$ gilt $p \neq 0$.

· $B$ · $\overline{B}$

$A$ · $p$ · · $3p$

$\overline{A}$ · · · $1 - 3p$

· $4p$

Bei einem Gewinnspiel beträgt der Einsatz für die Teilnahme 3 Euro. Die Auszahlung in Euro wird durch die Zufallsgröße $A$ beschrieben. Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$.

a

Zeigen Sie, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat.

[1 BE]

b

Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen. Berechnen Sie den Wert von $b$.

[2 BE]

c

Beschreiben Sie, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugeln durchgeführt werden könnte.

[2 BE]

In einem Behälter befinden sich Kugeln, von denen jede dritte gelb ist.

1 Aufgabe

In einem Behälter befinden sich Kugeln, von denen jede dritte gelb ist.

a

Aus dem Behälter wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln gelb sind. [1 BE]

b

Im Behälter werden zwei gelbe Kugeln durch zwei blaue Kugeln ersetzt. Anschließend wird aus dem Behälter erneut zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln gelb sind, beträgt nun $\frac{1}{16}$. Ermitteln Sie, wie viele gelbe Kugeln sich nach den beschriebenen Vorgängen im Behälter befinden. [4 BE]

In einem Behälter befinden sich Kugeln, von denen jede dritte gelb ist.

Leiten Sie unter Verwendung der beschriebenen Spielregeln eine Gleichung her, mit der der Wert von $p$ berechnet werden könnte; erläutern Sie dabei Ihr Vorgehen.