Abitur NRW Mathematik 2021 · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (Kolleg)

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=3x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt $f'(x)=(3-3x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$.

(1)

Bestimmen Sie $f''(x)$.

(2)

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_t$ mit der Funktionsgleichung$$f_t(x) = 4x^2 - 4\cdot t\cdot x + t^2,\ x \in \mathbb{R},\ t \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie, dass der Graph von $f_t$ exakt eine Nullstelle hat.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_t$ mit der Funktionsgleichung$$f_t(x) = 4x^2 - 4\cdot t\cdot x + t^2,\ x \in \mathbb{R},\ t \in \mathbb{R}.$$

(2)

Bestimmen Sie den Wert von $t$ derart, dass $\int_0^t f_t(x)\,\mathrm{d}x = 9$ erfüllt ist.

c) Die nebenstehende Abbildung 1 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$.

Einer der Graphen in den folgenden Abbildungen 2.1 bis 2.3 stellt die Funktion $I_2$ mit $$I_2(x) = \int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t$$ dar.

(1)

Entscheiden Sie begründet, welche der Graphen in den Abbildungen 2.1 bis 2.3 nicht der Graph von $I_2$ sein können.

[Hinweis: Pro Graph genügt ein Gegenargument.]

(2)

Skizzieren Sie in diejenige Abbildung, die den Graphen von $I_2$ zeigt, zusätzlich den Graphen der Funktion $I_6$ mit $$I_6(x) = \int_6^x f(t)\,\mathrm{d}t$$ ein.

d) Betrachtet werden die Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit $f_a(x) = -a\cdot x^2 + 4\cdot a\cdot x$ und $g_a(x) = a\cdot x$, $x \in \mathbb{R}$, $a > 0$.

Zwischen dem Graphen von $f_a$ und der $x$-Achse liegt eine Fläche $E_a$ mit dem Inhalt $\frac{32}{3}a$ FE.

Durch den Graphen von $g_a$ wird die Fläche $E_a$ in zwei Teilflächen zerlegt (vgl. Abbildung 3).

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen miteinander einschließen.

(2)

Zeigen Sie, dass die Fläche aus (1) stets denselben Anteil an der Fläche $E_a$ hat.

e) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 25$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(2)

Gegeben ist: $P_{25;\,0{,}5}(X \le 10) \approx 0{,}2122$.

Ermitteln Sie mithilfe dieses Werts die Wahrscheinlichkeiten $P_{25;\,0{,}5}(X \ge 11)$ und $P_{25;\,0{,}5}(11 \le X \le 12)$.

f) Betrachtet werden die folgenden drei mathematischen Ansätze I, II und III:

I $0{,}7^n \le 0{,}3$

II $(1-p)^{12} + 12\cdot p\cdot (1-p)^{11} \le 0{,}3$

III $0{,}7^{12} + 12\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^{11} + \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 0{,}3^2\cdot 0{,}7^{10}$

Zwei der drei Ansätze lassen sich jeweils einem der folgenden Arbeitsaufträge A, B bzw. C zuordnen. In allen drei Arbeitsaufträgen geht es um eine binomialverteilte Zufallsgröße. Ein Ansatz hat keinen passenden Arbeitsauftrag, und ein Arbeitsauftrag hat keinen passenden Ansatz.

A Gegeben sind die Parameter $n = 12$ und $p = 0{,}7$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge.

B Gegeben ist der Parameter $p = 0{,}3$. Die Wahrscheinlichkeit, keinen Erfolg zu erzielen, soll maximal $30\,\%$ betragen. Ermitteln Sie die Anzahl der Versuche.

C Gegeben sind die Parameter $n = 12$ und $p = 0{,}3$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge.

(1)

Entscheiden Sie, welcher Arbeitsauftrag zu welchem der mathematischen Ansätze passt.

(2)

Geben Sie für den Arbeitsauftrag ohne zugeordneten Ansatz einen passenden Ansatz an.

(3)

Geben Sie für den Ansatz ohne zugeordneten Arbeitsauftrag einen passenden Arbeitsauftrag an.

Aufgabenstellung:

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen ändert sich die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür wird für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208)\cdot e^{-0,1x - 5,7} + 7,\quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Verlauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Um die Änderungsrate der Konzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens zu beschreiben, dienen für $0 \le t \le 8$ die Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot (t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2},\quad t \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R},\ a \ge 1$$ als Modell. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. Zu $t = 0$ gehört 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ gezeigt.

Ohne Beweis darf verwendet werden: $h_a'(t) = -10a\cdot (-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie den Funktionswert $f(3)$ und interpretieren Sie diesen Wert im Kontext der Anwendung.

a) (2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration größer als $80\text{ pg/ml}$ ist.

Von $x_1 \approx$ bis $x_2 \approx$ Jahren.

a) (3)

Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Tageshöchstkonzentration zwischen dem Alter von $20$ und $40$ Jahren.

a) (4)

Ermitteln Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach dem Modell ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an. [Zur Kontrolle: $x_{\max} \approx 10{,}6$.]

a) (5)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a;b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die mittlere Tageshöchstkonzentration zwischen dem Alter von $5$ und $15$ Jahren.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent sie vom Maximalwert der Tageshöchstkonzentration abweicht.

Teilaufgabe b)

Ohne Nachweis darf verwendet werden: $h_a'(t) = -10a \cdot (-0{,}5t^2 + 4t - 7) \cdot e^{-(0{,}5t-2)^2}$.

b) (1)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass die Null- und Extremstellen nicht vom Parameter $a$ abhängen.

b) (2)

Die globalen Extremstellen von $h_a$ sind identisch mit den lokalen Extremstellen im Intervall $[0;8]$. [Ein Nachweis ist nicht nötig.]

Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen aller Funktionen $h_a$ mit $a \ge 1$ und interpretieren Sie sie im Sachzusammenhang. Geben Sie die Extremstellen dabei als Uhrzeiten in Stunden und Minuten an.

Lokales Maximum bei $t_{E1} \approx$, entspricht Uhrzeit: Uhr.

Lokales Minimum bei $t_{E2} \approx$, entspricht Uhrzeit: Uhr.

b) (3)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration um 2:00 Uhr ihr Maximum erreicht.

Aufgabenstellung:

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen ändert sich die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür wird für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208)\cdot e^{-0,1x - 5,7} + 7,\quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Verlauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Um die Änderungsrate der Konzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens zu beschreiben, dienen für $0 \le t \le 8$ die Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot (t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2},\quad t \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R},\ a \ge 1$$ als Modell. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. Zu $t = 0$ gehört 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ gezeigt.

Ohne Beweis darf verwendet werden: $h_a'(t) = -10a\cdot (-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

b)(4)

Bestimmen Sie diejenige Zahl $a$, bei der die Hormonkonzentration innerhalb der ersten drei Stunden um $30{,}42\text{ pg/ml}$ ansteigt.

Teilaufgabe c

Nun sollen die Funktionen $H_{2;C}$ mit $H_{2;C}(t) = 40\cdot \mathrm{e}^{-(0{,}5t-2)^2} + C$, $C\in \mathbb{R}$, untersucht werden.

(1)

Weisen Sie nach, dass es sich bei jeder Funktion $H_{2;C}$ um eine Stammfunktion von $h_2$ handelt.

(2)

Weisen Sie nach, dass in diesem Modell für jedes $C$ die Hormonkonzentration zum Ende des Beobachtungszeitraums ($t = 8$) dem Wert zu Beginn ($t = 0$) entspricht.

(3)

Bestimmen Sie $C$ auf zwei Nachkommastellen gerundet so, dass die von $H_{2;C}$ beschriebene Hormonkonzentration zum Zeitpunkt $t = 6$ den Wert $44{,}7\text{ pg/ml}$ hat.

[Kontrolllösung: $C \approx 30$.]

(4)

Die Tageshöchstkonzentration tritt im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens auf ($0 \leq t \leq 8$). Ermitteln Sie unter Verwendung von $H_{2;30}$ die maximale Hormonkonzentration (Tageshöchstkonzentration).

Bestimmen Sie mit der Funktion $f$ das Alter, das eine Person mit dieser Tageshöchstkonzentration haben könnte.

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_k$ festgelegt.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Jeder der in Abbildung 1 gezeigten Graphen I, II und III entspricht genau einem der Werte $k = 0{,}5$, $k = 1$ und $k = 1{,}5$.

Entscheiden Sie, welchem Graphen welcher Wert zuzuordnen ist.

Graph I:

Graph II:

Graph III:

a) (2)

Bestimmen Sie die Nullstellen von $f_k$ rechnerisch in Abhängigkeit vom Parameter $k$.

[Zur Kontrolle: Die Nullstellen von $f_k$ sind $x = 0$ und $x = 3\cdot k$.]

a) (3)

Weisen Sie nach, dass an den Stellen $x = k$ und $x = 3\cdot k$ lokale Extremstellen von $f_k$ vorliegen, und ermitteln Sie, um welche Art von Extremstellen es sich handelt.

Teilaufgabe d)

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = f_1(x)\cdot e^{-x},\quad x\in\mathbb{R},$$

dargestellt.

Zu jeder reellen Zahl $u$ mit $0 < u < 3$ bilden die Punkte $P(0\mid 0)$, $Q_u(u\mid 0)$ und $R_u(u\mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$.

d) (1)

Zeichnen Sie das Dreieck $PQ_{1{,}5}R_{1{,}5}$ in Abbildung 4 ein.

d) (2)

Weisen Sie nach, dass sich der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ so darstellen lässt:

$$A(u) = \left(\frac{1}{2}\cdot u^4 - 3\cdot u^3 + \frac{9}{2}\cdot u^2\right)\cdot e^{-u}.$$

d) (3)

Weisen Sie nach, dass gilt:

$$A'(u) = \left(-\frac{1}{2}\cdot u^4 + 5\cdot u^3 - \frac{27}{2}\cdot u^2 + 9\cdot u\right)\cdot e^{-u}.$$

d) (4)

Ermitteln Sie rechnerisch, für welchen Wert $u$ mit $0 < u < 3$ das zugehörige Dreieck $PQ_uR_u$ den größten Flächeninhalt besitzt.

Gesuchter Wert $u$:

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_k$ festgelegt.

c) Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist $p_k$ eine quadratische Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

$p_k$ und $f_k$ haben dieselben Nullstellen.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p_k$ ist ein Punkt des Graphen von $f_k$.

(1)

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung der Funktion $p_k$.

[Zur Kontrolle: $p_k(x) = -\frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot k\cdot x$.]

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_k$ festgelegt.

Teilaufgabe b

Abbildung 2 zeigt ein Verfahren, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^3 f_1(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 0{,}781\text{ FE}$,

$A_2 \approx 1{,}781\text{ FE}$,

$A_4 \approx 1{,}344\text{ FE}$,

$A_5 \approx 0{,}656\text{ FE}$,

$A_6 \approx 0{,}156\text{ FE}$.

(1)

Zeigen Sie: $A_3 \approx 1{,}844\text{ FE}$.

(2)

Ermitteln Sie, wie viel Prozent der exakte Wert des Integrals $\int_0^3 f_1(x)\,\mathrm{d}x$ und der mit dem gezeigten Verfahren erhaltene Näherungswert voneinander abweichen, bezogen auf den exakten Wert.

%

Teilaufgabe c

Zu jeder reellen Zahl $k > 0$ gehört eine quadratische Funktion $p_k$ mit diesen Eigenschaften: Die Funktionen $p_k$ und $f_k$ haben jeweils dieselben Nullstellen.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p_k$ ist ein Punkt des Graphen von $f_k$.

[Zur Kontrolle: $p_k(x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}kx$.]

(2)

Für alle reellen $k > 0$ gilt: Die Fläche zwischen dem Graphen von $f_k$ und der $x$-Achse im Bereich der Nullstellen $x = 0$ und $x = 3k$ hat den Inhalt $\frac{27}{4}k^3\text{ FE}$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die vom Graphen von $p_k$ und der $x$-Achse zwischen den Nullstellen $x = 0$ und $x = 3k$ begrenzte Fläche denselben Inhalt hat.

(3)

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$ und $p_1$.

(i) Bestimmen Sie den Inhalt $A_{\text{links}}$ der linken schraffierten Fläche.

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt $A_{\text{rechts}}$ die rechte schraffierte Fläche hat.

Aufgabenstellung:

Im Landschaftspark Hoheward befindet sich auf einer Plattform eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse in Richtung Norden weist (siehe Abbildung 2).

In der Realität entspricht eine Längeneinheit dieses Koordinatensystems einem Meter.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Diese Deckfläche bildet zugleich die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie für die Grundfläche des Pyramidenstumpfs die Koordinaten der Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an.

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich aus den Koordinaten entnehmen.]

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Größen aller Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks $B_1B_2C$.

c)

Eine Kamera ist nördlich des Obelisken und oberhalb von ihm angebracht. Im Modell liegt sie im Punkt $K(0|5|15)$.

Untersuchen Sie, ob die Kamera von der Pyramidenspitze weniger weit entfernt ist als von der ihr nächstgelegenen Kante der Pyramidengrundfläche.

Aufgabenstellung:

Im Landschaftspark Hoheward befindet sich auf einer Plattform eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse in Richtung Norden weist (siehe Abbildung 2).

In der Realität entspricht eine Längeneinheit dieses Koordinatensystems einem Meter.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Diese Deckfläche bildet zugleich die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

d)

Die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ befinden sich alle in der Ebene $E$.

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform. [4 Punkte]

e)

Wenn die Sonne genau im Süden steht, fallen die Sonnenstrahlen entlang des Vektors $\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, h \in \mathbb{R}, h > 0$ ein. Dabei ist der Wert des Parameters $h$ von der Jahreszeit abhängig. Der Schattenpunkt der Spitze der Pyramide ist nur dann am Boden zu sehen, wenn die Sonne nicht zu hoch am Himmel steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar $g_h$ mit $g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix},\ t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h > 0$.

(1)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $h$ man den Schattenpunkt der Spitze auf dem Boden erkennen kann. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Abmessungen der Plattform können außer Acht gelassen werden.]

(2)

Ermitteln Sie die von $h$ abhängigen Koordinaten eines Punktes $S_h$, an dem der Schatten der Spitze auf der Plattform erscheint. [2 Punkte]

[Hinweis: Eine Beschränkung für $h$, etwa aus (1), braucht nicht beachtet zu werden.]

Am 22. September 2021 dauern Tag und Nacht gleich lang. An diesem Tag bewegt sich der Schattenpunkt der Spitze ganztägig geradlinig von West nach Ost, das heißt parallel zur $x_1$-Achse. Steht die Sonne an diesem Tag mittags genau im Süden, hat sie über der Plattform der Sonnenuhr einen Winkel von $38{,}4^\circ$.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $h$, bei dem die Sonne unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr steht, und geben Sie eine Gleichung in Parameterform für die Gerade an, auf der sich der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 bewegt. [3 + 1 = 4 Punkte]

Firmen geben viel Geld für Internetwerbung aus und schalten oft eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Je nach Suchanfrage der Nutzer wird die Anzeige angezeigt. Wer die Anzeige anklickt, gelangt auf die Webseite des Unternehmens.

Im Weiteren geht es ausschließlich um Aufrufe der Unternehmenswebseite, die durch eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter zustande kommen. Zur Vereinfachung soll gelten, dass die Anzeige jeder Person nur ein einziges Mal gezeigt wird.

Eine Anzeige wird $n$-mal gezeigt. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Als Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt ist.

Firma A hat bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige platziert. Innerhalb eines Monats wurde sie 800-mal eingeblendet. Dabei wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}2$ ist.

Firma A hat bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige platziert. Im Lauf eines Monats wurde diese Anzeige 800-mal angezeigt. Man nimmt an, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}2$ ist.

a)

(1)

(i)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens 180 Webseitenaufrufe.

(ii)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als 170 Webseitenaufrufe.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der Webseitenaufrufe mehr als 5 vom Erwartungswert entfernt liegt.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Einblendungen der Anzeige, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Webseitenaufruf stattfindet.

b)

Für 800 eingeblendete Anzeigen bietet der Suchmaschinenanbieter Firma A zwei Bezahlmodelle an. Bei Option 1 zahlt Firma A 0,06 € für jede Einblendung. Bei Option 2 werden nur die Webseitenaufrufe berechnet, dafür aber 0,28 € je Aufruf.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Option 2 für die Firma die geringeren Kosten verursacht.

Firmen geben viel Geld für Internetwerbung aus und schalten oft eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Je nach Suchanfrage der Nutzer wird die Anzeige angezeigt. Wer die Anzeige anklickt, gelangt auf die Webseite des Unternehmens.

Im Weiteren geht es ausschließlich um Aufrufe der Unternehmenswebseite, die durch eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter zustande kommen. Zur Vereinfachung soll gelten, dass die Anzeige jeder Person nur ein einziges Mal gezeigt wird.

Eine Anzeige wird $n$-mal gezeigt. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Als Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt ist.

Firma A hat bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige platziert. Innerhalb eines Monats wurde sie 800-mal eingeblendet. Dabei wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0{,}2$ ist.

Nach Angaben des Suchmaschinenanbieters kann er Anzeigen jetzt besser auf Zielgruppen abstimmen. Durchschnittlich soll nun mehr als jede fünfte eingeblendete Anzeige (über 20 %) einen Webseitenaufruf auslösen. Wegen dieser verbesserten Qualität plant der Anbieter, seine Preise anzuheben.

Firma A möchte diese Aussage überprüfen und wählt als Nullhypothese $H_0$: „Die Wahrscheinlichkeit eines Webseitenaufrufs beträgt höchstens 20 %.“

c) (1)

Begründen Sie, warum Firma A diese Nullhypothese wählt.

[2 Punkte]

(2)

Firma A möchte die Hypothese anhand von 400 eingeblendeten Anzeigen prüfen.

Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel bei einem Signifikanzniveau von 2,5 %.

[3 Punkte]

mindestens

Webseitenaufrufe

Bei einem Signifikanzniveau von 5 % gilt hier folgende Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, sobald mindestens 94 Webseitenaufrufe erfolgen.

Nun sei angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Webseitenaufruf über die Anzeige tatsächlich auf 25 % gestiegen ist.

(3)

Bestimmen Sie für diese Situation die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.

[4 Punkte]

$P(\text{Fehler 2. Art}) \approx$

(4)

Firma A überlegt, die Nullhypothese $H_0$ anhand einer geänderten Stichprobe von 50 eingeblendeten Anzeigen zu überprüfen. Für das Signifikanzniveau von 5 % gilt dann die folgende Entscheidungsregel: „Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens 16 Webseitenaufrufe erfolgen.“

Stellen Sie die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art für die geänderte Stichprobe in der folgenden Abbildung grafisch dar.

Laden Sie ein Foto der bearbeiteten Abbildung hoch:

Beurteilen Sie aus der Perspektive des Suchmaschinenanbieters, ob es sinnvoll ist, den Stichprobenumfang zu ändern.

[3 Punkte]

In Abbildung 1 ist ein Modell einer Schwenkbrücke zu sehen, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die in Abbildung 2 gezeigte Seitenansicht der Brücke wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Brückenmodell steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens.

a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstelle $x_n$ der Funktion.

[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist $x_n \approx 22{,}44$.]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß der vertikale Abstand zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen höchstens wird.

b)

(1) Ermitteln Sie jeweils die Stelle, an der die obere Randlinie am stärksten ansteigt und am stärksten abfällt.

(2) Prüfen Sie, ob die obere Randlinie an irgendeiner Stelle einen Anstieg oder ein Gefälle von mehr als $45^\circ$ aufweist.

c)

(1) Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_1$ trifft in einer Höhe von $3\text{ cm}$ auf die obere Randlinie.

Ermitteln Sie die Stelle dieser Verbindung.

(2) Eine weitere Strebe $S_2$ liegt auf einer Geraden durch den Punkt $P_1(6\mid 0)$ der $x$-Achse. Sie trifft im Punkt $P_2$ genau dann senkrecht auf die obere Randlinie, wenn der Abstand von $P_1$ und $P_2$ minimal ist.

Leiten Sie einen Term her, mit dem sich der Abstand von $P_1$ und $P_2$ berechnen lässt.

Ermitteln Sie den Punkt $P_2$, an dem $S_2$ senkrecht auf die obere Randlinie stößt.

d)

Abbildung 2 zeigt rechts über der oberen Randlinie der Brücke eine Rampe, die zum Ufer führt. Im mathematischen Modell wird sie durch die Tangente an die obere Randlinie an der Stelle $x = 17$ dargestellt.

Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente.

e)

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29),\; x \in \mathbb{R}$, gibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens an.

Bestimmen Sie für das Intervall $[2; 19]$ sowohl den kleinsten als auch den größten vertikalen Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem durch $g$ beschriebenen Bogen.

In Abbildung 1 ist ein Modell einer Schwenkbrücke zu sehen, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die in Abbildung 2 gezeigte Seitenansicht der Brücke wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Brückenmodell steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens.

f) Die in Abbildung 4 schraffiert abgebildete Fläche, die von der oberen Randlinie, der unteren Horizontalen und dem durch $g$ beschriebenen Bogen begrenzt wird, soll mit Stoff bespannt werden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.