Exámenes de Matemàtiques I UPF 2020
Los 5 exámenes de Matemàtiques I de la UPF (Grado en Administración y Dirección de Empresas) de 2020 (Examen de recuperació de Matemàtiques I (curs 2020-21) y Examen Parcial 2 (Novembre 2020)), con 64 problemas resueltos. Entran temas como Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats y Models lineals i exponencials aplicats a l'economia. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Examen de recuperació de Matemàtiques I (curs 2020-21) (2020)
Temas del examen: Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia · Geometria analítica al pla: circumferències i interseccions de corbes · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències · Derivació implícita i recta tangent a una corba · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres · Integració: primitives, integral definida i àrees
- Ejercicio 1 - P1/V1 · Geometria analítica al pla: circumferències i interseccions de corbes
Determinar si les corbes E1: x^2 + y^2 - 4y - 6x + 4 = 0 i E2: x^2 + y^2 - 3x - y - 2 = 0 són circumferències (centre i radi) i trobar els seus punts d'intersecció. - Ejercicio 2 - P1/V2 · Geometria analítica al pla: circumferències i interseccions de corbes
Es consideren les corbes E1 : x^2 + y^2 + 4y - 6x + 13 = 9 i E2 : x^2 + y^2 + 3x + y - 2 = 0. Es demana esbrinar quines són circumferències trobant-ne centre i radi, i trobar tots els punts… - Ejercicio 3 - P1/V3 · Geometria analítica al pla: circumferències i interseccions de corbes
Reconèixer si E1 i E2 són circumferències calculant centre i radi, i trobar els seus punts d'intersecció. - Ejercicio 4 - P1/V4 · Geometria analítica al pla: circumferències i interseccions de corbes
Comprovar si E1 i E2 són circumferències, donant centre i radi, i determinar els punts de tall. - Ejercicio 5 - P2/V1 · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Esbós de f(x) = (x-1)^2 + k i g(x) = 2x-1, recorregut i resolució de la inequació f(x) <= g(x) segons k. - Ejercicio 6 - P2/V2 · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Esbós gràfic de f(x) = (x-2)^2 + k i g(x) = 2x-3, recorregut i resolució de f(x) <= g(x) en funció de k. - Ejercicio 7 - P2/V3 · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Esbós de f(x) = (x-1)^2 + k i g(x) = 2x-1, recorregut de les dues funcions i resolució de f(x) >= g(x) en funció de k. - Ejercicio 8 - P2/V4 · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Estudi de funcions i desigualtat amb paràmetre: f(x) = (x-2)^2 + k i g(x) = 2x-3. Esbós gràfic i incidència de k; recorreguts de f i g; resolució de la inequació f(x) >= g(x) segons k. - Ejercicio 9 - P3/V1 · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia
Modelització lineal de la ciutat A (10.500 hab el 2012, +250/any) i exponencial de la ciutat B (30.000 hab el 2013, 25.000 el 2016). Trobar f_A(t), f_B(t), el percentatge de pèrdua anual, la població… - Ejercicio 10 - P3/V2 · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia
A partir de l'any 2010 es registren les poblacions de dues ciutats, A i B. L'any 2012 la ciutat A tenia 21.000 habitants i creix anualment en 500 habitants. La ciutat B tenia 60.000 habitants el 2013… - Ejercicio 11 - P3/V3 · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia
Modelització de les poblacions A (creixement lineal) i B (decreixement exponencial amb pèrdua percentual fixa). Es demana trobar la funció d'A, la funció de B, la taxa percentual de decreixement, el… - Ejercicio 12 - P4/V1 · Integració: primitives, integral definida i àrees
Determineu la funció f(x) tal que f(0) = 1/k i f'(x) = e^{-kx} + 1/(k(x+1)) + 1/(kx+1)^2 + (kx-1)(kx+1), amb k != 0. - Ejercicio 13 - P4/V2 · Integració: primitives, integral definida i àrees
Trobeu la funció f tal que f(0) = 1/k i la seva derivada és f'(x) = e^{-kx} + 1/(k(x+1)) + 1/(kx+1)^2 + (kx-2)(kx+2), amb k != 0. - Ejercicio 14 - P4/V3 · Integració: primitives, integral definida i àrees
Calculeu l'expressió de f(x) sabent que f(0) = 1/k i f'(x) = e^{-kx} + 1/(k(x+1)) + 1/(kx+1)^2 + (kx-3)(kx+3), amb k != 0. - Ejercicio 15 - P5/V1 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Es donen els vectors de R^3: u = (1, -1, 4) i v = (2, 1, -3). a. Justifiqueu si el vector (3, 3, -10) es pot expressar com a combinació lineal d'u i v. En cas afirmatiu, trobeu-ne els coeficients. b.… - Ejercicio 16 - P5/V2 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Comprovar si (5, 4, -13) és combinació lineal de u = (1, -1, 4) i v = (2, 1, -3) i escriure'n l'expressió. Determinar els vectors de norma 2 que pertanyen al subespai generat per u i v i que són… - Ejercicio 17 - P5/V3 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Donats u = (1, -1, 4) i v = (2, 1, -3), esbrineu si (7, 5, -16) és combinació lineal d'u i v. A continuació, calculeu els vectors de norma 2 que siguin combinació lineal d'u i v i perpendiculars a… - Ejercicio 18 - P6/V1 · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències
Considera la matriu A d'ordre 2 (rotació de π/3) i el vector v = (1, 2)^T. a) Calcula w = A · v i determina si v i w són ortogonals calculant el seu producte escalar. b) Calcula A^2 per demostrar que… - Ejercicio 19 - P6/V2 · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències
Siguin la matriu A i el vector v donats. a. Definint w = A·v, determineu si v i w són ortogonals. b. Demostreu la igualtat A^3 = -I2. c. Calculeu la potència A^26. - Ejercicio 20 - P6/V3 · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències
Donada la matriu A i el vector v: a) Calculeu w = A·v i esbrineu si v i w són perpendiculars calculant el seu producte escalar. b) Demostreu que A^3 = -I2. c) Calculeu A^21. - Ejercicio 21 - P6/V4 · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències
Donada la matriu A = ((1/2, sqrt(3)/2), (-sqrt(3)/2, 1/2)) i el vector v = (2, 2)^T: a. Si w = A·v, comproveu si són ortogonals calculant el producte escalar. b. Comproveu que A^3 = -I_2. c. Trobeu… - Ejercicio 22.a - P7/V1 - Recta tangent · Derivació implícita i recta tangent a una corba
Donada la corba 2 ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2, trobar l'equació de la recta tangent en x = 1. - Ejercicio 22.b - P7/V1 - Aproximació diferencial · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor
Calcular el diferencial dy quan x varia d'1 a 0,99 i aproximar el valor de y(0,99). - Ejercicio 23.a - P7/V2 - Recta tangent · Derivació implícita i recta tangent a una corba
Donada la corba 4 ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2, determinar l'equació de la recta tangent en x = 1. - Ejercicio 23.b - P7/V2 - Aproximació diferencial · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor
Calcular el diferencial dy quan x canvia d'1 a 0,98 i estimar el valor de y(0,98). - Ejercicio 24.a - P7/V3 - Recta tangent · Derivació implícita i recta tangent a una corba
Donada la corba 5 ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2, calculeu la recta tangent a la corba en el punt amb x = 1. - Ejercicio 24.b - P7/V3 - Aproximació diferencial · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor
Donada la corba 5 ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2, trobeu el diferencial de y en passar x d'1 a 0,97 i aproximeu y(0,97). - Ejercicio 25 - P8/V1 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Estudi de la funció f(x) = x^2 + k ln(x^2) segons el paràmetre real k: a) Extrems locals i intervals de creixement i decreixement; b) Extrems locals que són òptims globals; c) Recorregut de f(x) per… - Ejercicio 26 - P8/V2 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Estudi dels extrems relatius, intervals de monotonia, extrems absoluts i imatge de f(x) = x^2 + 2k ln(x^2) segons el paràmetre k. - Ejercicio 27 - P8/V3 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Considereu la funció f(x) = x^2 + 3k ln(x^2). a. Determineu els òptims locals i els intervals de creixement i decreixement en funció de k. b. Indiqueu quins d'aquests extrems locals són globals. c.…
Examen Parcial 2 (Novembre 2020) (2020)
Temas del examen: Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres · Concavitat, convexitat i punts d'inflexió · Integració: primitives, integral definida i àrees
- Pregunta 1 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Trobeu tots els valors reals de x que fan que el vector v = (x, x, -2x) tingui una norma igual a 3√6. - Pregunta 2 · Integració: primitives, integral definida i àrees
Calculeu el valor de la constant k de manera que ∫_2^3 (k/(x-1)²) dx = 4. - Pregunta 3 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Trobeu els extrems relatius (màxims i mínims locals) de la funció f(x) = (1-x)/(x²+2). - Pregunta 4 · Concavitat, convexitat i punts d'inflexió
Considereu la funció f(x) = e^x(x - k + 1). Determineu, en funció de k, els seus punts d'inflexió així com els intervals de concavitat i convexitat.
Examen Parcial 2 (Novembre 2020) (2020)
Temas del examen: Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres · Concavitat, convexitat i punts d'inflexió · Integració: primitives, integral definida i àrees
- Pregunta 1 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Determineu quins valors pot prendre la variable x perquè els vectors a = (2x, 2, -1) i b = (x, 0, 1) siguin perpendiculars. - Pregunta 2 · Integració: primitives, integral definida i àrees
Trobeu el valor del paràmetre real k que satisfà la següent igualtat: \int_{-1}^k (3x^2 + 4) dx = 5. - Pregunta 3 · Concavitat, convexitat i punts d'inflexió
Calculeu els punts d'inflexió de la funció real següent: f(x) = x² + 8 ln x. - Pregunta 4 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Determineu els òptims globals de la funció f(x) = x⁴ - 4kx³ en funció dels possibles valors del paràmetre real k. En cas que no existeixi màxim o mínim global, justifiqueu-ne la raó.
Examen Parcial 2 (Novembre 2020) (2020)
Temas del examen: Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres · Integració: primitives, integral definida i àrees
- Pregunta 1 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Determineu per a quins valors del paràmetre t els vectors v = (2, t^2, 3) i u = (10, 5, 15) són mútuament proporcionals. - Pregunta 2 · Integració: primitives, integral definida i àrees
Trobeu, en funció del paràmetre real k, la integral indefinida de (4kx + 1/(kx+5)) dx. - Pregunta 3 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Determineu el màxim i el mínim globals de la funció f(x) = -|x - 3| en l'interval tancat [-1, 4]. - Pregunta 4 · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Considereu la funció f(x) = x² e^(2kx). Estudieu l'existència i la naturalesa dels seus extrems relatius en funció del paràmetre k.
Examen Parcial 2020-21 (2020)
Temas del examen: Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències · Derivació implícita i recta tangent a una corba · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres · Integració: primitives, integral definida i àrees
- Ejercicio P1/1 · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Es considera la funció f(x) = 1/(ln(x^2-4)-ln(12)) + sqrt(x-k) amb k>0. a. Determineu el domini en funció de k>0. b. Raoneu si existeix algun valor de x que formi part del domini per a qualsevol… - Ejercicio P1/2 · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Sigui f(x) = 1/(ln(x^2-9)-ln(7)) + sqrt(x-k) on k>0. a. Trobeu el domini en funció de k>0. b. Existeix algun punt que pertanyi incondicionalment al domini de f, independentment del valor que prengui… - Ejercicio P2/1 · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia
Modelització exponencial dels beneficis de dues empreses A i B a partir de 2015 i càlcul de l'any en què els beneficis de B seran una quarta part dels d'A. - Ejercicio P2/2 · Models lineals i exponencials aplicats a l'economia
P2/2: Beneficis de l'empresa A (200 M$, creixement anual 10%) i B (800 M$, redueixen a la meitat el 2060). Trobar les funcions f_A(t), f_B(t) i l'any en què f_B(t) = 1/4 f_A(t). - Ejercicio P3/1 - Gràfica de polinomi · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
P3/1 apartat a: Esbós aproximat de la gràfica del polinomi p(x) = -2(x+3)(x+1)x(x-3) sense calcular extrems relatius ni concavitat. - Ejercicio P3/1 - Àrea · Integració: primitives, integral definida i àrees
P3/1 apartat b: Càlcul de l'àrea de la regió finita tancada per la corba y = p(x) i l'eix d'abscisses a l'interval [-1, 1]. - Ejercicio P3/1 - Mínim local · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
P3/1 apartat c: Demostrar que p té un únic mínim local a [-1, 0] i donar un subinterval de longitud 0,1 de la forma [a, a+0,1] que el contingui. - Ejercicio P3/2 - Gràfica de polinomi · Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats
Feu un esbós aproximat de la corba y = p(x) per a p(x) = -2(x+2)(x+1)x(x-2) sense determinar màxims, mínims ni punts d'inflexió. - Ejercicio P3/2 - Àrea · Integració: primitives, integral definida i àrees
Calculeu el valor de l'àrea compresa entre el gràfic de p(x) i l'eix x en l'interval [-1, 1], justificant tots els passos. - Ejercicio P3/2 - Mínim relatiu · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Raoneu l'existència d'un únic mínim relatiu en l'interval [-1, 0] i indiqueu un subinterval d'amplada 0,1 del tipus [a, a + 0,1] on es localitzi aquest mínim. - Ejercicio P4/1 · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor
Es considera f(x) = (1 - x)^n amb n != 0. a) Trobeu l'aproximació lineal al voltant de x = 0 i el diferencial df(x) quan x passa de 0 a dx. b) Determineu l'aproximació lineal de g(x) = 1/cbrt(1 - x)… - Ejercicio P4/2 · Aproximació lineal, diferencial i polinomi de Taylor
Donada f(x) = (1 - x)^n amb n != 0. a) Trobeu l'aproximació lineal al voltant de x = 0 i el diferencial df(x) quan x varia de 0 a dx. b) Calculeu l'aproximació de primer ordre per a g(x) =… - Ejercicio P5/1 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Trobeu tots els vectors u de R^3 simultàniament perpendiculars a v = (1, 0, -2) i w = (0, 2, 3), i amb norma igual al doble de la norma de v. - Ejercicio P5/2 · Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals
Determineu tots els vectors u ortogonals a v = (1, 0, -2) i w = (0, 4, 6) tals que la seva norma sigui exactament el doble de la norma de v. - Ejercicio P6/1 · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències
Es considera la matriu A depenent dels paràmetres a i b (amb a <= 0, b <= 0). Es demana trobar a i b perquè A sigui ortogonal i, posteriorment, resoldre l'equació matricial AX + B = C. - Ejercicio P6/2 · Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències
P6/2 (10 punts). Sigui la matriu A. a) Determineu els valors de a (a <= 0) i b (b <= 0) que fan que A sigui ortogonal. b) Aïlleu i calculeu la matriu X que resol AX + B = C. - Ejercicio P7/1 · Derivació implícita i recta tangent a una corba
Es considera la corba definida implícitament per 3√(x-y) + k(1-x) = -2xy, amb k ∈ ℝ. a) Comproveu que (1, -3) pertany a la corba per a tot k. b) Trobeu l'equació de la recta tangent en (1, -3) en… - Ejercicio P7/2 · Derivació implícita i recta tangent a una corba
Es considera la corba implícita 9√(x - y) + k(1 - x) = -6xy amb k ∈ ℝ. a) Comproveu que (1, -3) pertany a la corba per a tot k. b) Trobeu l'equació de la recta tangent a la corba en (1, -3) en funció… - Ejercicio P8/1 - Punts crítics · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Sigui f(x) una funció amb funció derivada f'(x) = ((x - 1)(x - k))/x, amb k ≠ 0. a. Classifiqueu els extrems relatius de la funció f segons els valors del paràmetre k. - Ejercicio P8/1 - Càlcul de primitives · Integració: primitives, integral definida i àrees
Trobeu la família de totes les funcions f(x) que satisfan la derivada f'(x) = (x-1)(x-k)/x amb k ≠ 0. - Ejercicio P8/2 - Punts crítics · Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres
Sigui f'(x) = (x - 2)(x - k)/x, amb k ≠ 0. Determineu els màxims i mínims locals de la funció f en funció dels valors que prengui k. - Ejercicio P8/2 - Càlcul de primitives · Integració: primitives, integral definida i àrees
Donada la funció derivada f'(x) = (x - 2)(x - k)/x, calculeu l'expressió general de les funcions f(x) (família de primitives).
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Monotonia i òptims locals i globals amb paràmetres · 21 problemas · 85 % de que salga
- Integració: primitives, integral definida i àrees · 20 problemas · 85 % de que salga
- Vectors a R^n: norma, producte escalar i combinacions lineals · 16 problemas · 85 % de que salga
- Funcions elementals: domini, recorregut, gràfiques i desigualtats · 23 problemas · 60 % de que salga
- Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències · 13 problemas · 60 % de que salga
- Derivació implícita i recta tangent a una corba · 13 problemas · 60 % de que salga