Ejercicio 19 - P6/V2 · Matemàtiques I UPF 2020

19 P6/V2 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Siguin la matriu i el vector:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

a.

Definint $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$, determineu si $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són ortogonals.

Sí

No

b.

Demostreu la igualtat $A^3 = -I_2$. Calculeu la matriu $A^2$ o el resultat de $A^3$:

c.

Calculeu la potència $A^{26}$. Escriviu la matriu resultant o en funció de $A$: