Examen de Matemàtiques I UPF 2020 · Parcial 2020-21

Es considera la funció real de variable real definida per:

$$f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 - 4) - \ln(12)} + \sqrt{x - k}, \quad \text{amb } k > 0.$$

a.

Determineu el domini de definició de la funció en funció del paràmetre $k > 0$ i expresseu-lo mitjançant intervals o reunions d'intervals.

b.

Raoneu si existeix algun valor de $x$ que formi part del domini de $f$ per a qualsevol valor possible de $k > 0$.

Sigui la funció:

$$f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 - 9) - \ln(7)} + \sqrt{x - k}, \quad \text{on } k > 0.$$

a.

Trobeu el domini d'aquesta funció expressat en funció del paràmetre $k > 0$ com a interval o unió d'intervals.

b.

Existeix algun punt que pertanyi incondicionalment al domini de $f$, independentment del valor que prengui $k > 0$?

P2/1 (10 punts). Creixement exponencial de beneficis empresarials

L'any 2015, els beneficis de l'empresa $A$ van ascendir a 100 milions de dòlars, mentre que els de l'empresa $B$ van assolir els 400 milions de dòlars. Posteriorment, els guanys de l'empresa $A$ s'incrementen anualment en un 10% respecte a l'exercici precedent. Per la seva banda, els beneficis de l'empresa $B$ segueixen un model exponencial i es preveu que quedin reduïts a la meitat l'any 2060.

Nota: utilitzeu quatre xifres decimals en els càlculs intermedis i finals.

a.

Determineu la funció que descriu els beneficis de l'empresa $A$ en funció del temps $t$ (prenent $t = 0$ l'any 2015).

b.

Determineu l'expressió analítica per als beneficis de l'empresa $B$ en funció del temps.

c.

En quin any els beneficis reportats per l'empresa $B$ seran una quarta part dels guanys de l'empresa $A$?

P2/2 (10 punts). Creixement exponencial de beneficis empresarials

Se sap que l'any 2015 els beneficis de l'empresa $A$ van ser de 200 milions de dòlars i els de l'empresa $B$ de 800 milions de dòlars. A més, els guanys de l'empresa $A$ creixen a raó d'un 10% cada any respecte a l'any anterior. D'altra banda, els beneficis de l'empresa $B$ responen a una funció exponencial decreixent, de manera que l'any 2060 s'hauran reduït a la meitat.

Nota: treballeu amb quatre decimals en els càlculs.

a.

Trobeu la funció que proporciona el benefici de l'empresa $A$ respecte al temps (on $t = 0$ és l'any 2015).

b.

Trobeu la funció del benefici de l'empresa $B$ en funció del temps.

c.

Determineu en quin any els beneficis de l'empresa $B$ seran iguals a la quarta part dels de l'empresa $A$.

Es considera el polinomi de grau 4 donat per:$$p(x) = -2(x+3)(x+1)x(x-3) = -2x^4 - 2x^3 + 18x^2 + 18x.$$

a.

Esboceu una gràfica aproximada del polinomi $p(x)$ (sense necessitat de calcular els extrems relatius ni d'analitzar la concavitat i convexitat).

Es considera el polinomi de grau 4 donat per:$$p(x) = -2(x+3)(x+1)x(x-3) = -2x^4 - 2x^3 + 18x^2 + 18x.$$

b.

Calculeu l'àrea de la regió finita tancada per la corba $y = p(x)$ i l'eix d'abscisses en l'interval $[-1, 1]$. Raoneu detalladament cadascun dels passos.

Es considera el polinomi de grau 4 donat per:$$p(x) = -2(x+3)(x+1)x(x-3) = -2x^4 - 2x^3 + 18x^2 + 18x.$$

c.

Demostreu que el polinomi $p$ té un únic mínim local en l'interval $[-1, 0]$. Proporcioneu un subinterval de longitud $0{,}1$, és a dir, de la forma $[a, a + 0{,}1]$, que contingui l'abscissa d'aquest mínim.

Sigui el polinomi:

$$p(x) = -2(x + 2)(x + 1)x(x - 2) = -2x^4 - 2x^3 + 8x^2 + 8x$$

a.

Feu un esbós aproximat de la corba $y = p(x)$ (sense determinar màxims, mínims ni punts d'inflexió).

Sigui el polinomi:

$$p(x) = -2(x + 2)(x + 1)x(x - 2) = -2x^4 - 2x^3 + 8x^2 + 8x$$

b.

Calculeu el valor de l'àrea compresa entre el gràfic de $p(x)$ i l'eix $x$ en l'interval $[-1, 1]$, justificant tots els passos.

Sigui el polinomi:

$$p(x) = -2(x + 2)(x + 1)x(x - 2) = -2x^4 - 2x^3 + 8x^2 + 8x$$

c.

Raoneu l'existència d'un únic mínim relatiu en l'interval $[-1, 0]$ i indiqueu un subinterval d'amplada 0,1 del tipus $[a, a + 0{,}1]$ on es localitzi aquest mínim.

Es considera la funció $f(x) = (1 - x)^n$ amb $n \neq 0$.

a.

Calculeu l'aproximació lineal (polinomi de Taylor de grau 1) de la funció $f$ al voltant de $x = 0$, així com el diferencial de $f(x)$ quan la variable passa de $0$ a $dx$.

b.

Determineu l'aproximació lineal al voltant de $x = 0$ de la funció $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{1 - x}}$ i utilitzeu-la per aproximar el valor de $\frac{1}{\sqrt[3]{1{,}0006}}$.

Donada la funció $f(x) = (1 - x)^n$, on $n \neq 0$:

a.

Doneu l'aproximació lineal (polinomi de Taylor d'ordre 1) al voltant de $x = 0$ i el diferencial de $f(x)$ quan $x$ varia de $0$ a $dx$.

b.

Calculeu l'aproximació de primer ordre per a la funció $g(x) = \frac{1}{\sqrt[5]{1 - x}}$ al voltant de $x = 0$ i feu-ne ús per estimar el valor numèric de $\frac{1}{\sqrt[5]{1{,}0015}}$.

Trobeu tots els vectors $\vec{u} \in \mathbb{R}^3$ que siguin simultàniament perpendiculars als vectors $\vec{v} = (1, 0, -2)$ i $\vec{w} = (0, 2, 3)$, i que a més tinguin una norma igual al doble de la norma del vector $\vec{v}$.

$\vec{u}_1 =$

$\vec{u}_2 =$

Determineu tots els vectors $\vec{u}$ ortogonals tant a $\vec{v} = (1, 0, -2)$ com a $\vec{w} = (0, 4, 6)$ tals que la seva norma sigui exactament el doble de la norma de $\vec{v}$.

$\vec{u}_1 =$

$\vec{u}_2 =$

P6/1 (10 punts). Matriu ortogonal i equació matricial

Es considera la matriu:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & -1 \end{pmatrix}.$$

a.

Trobeu els valors dels paràmetres $a$ (amb $a \le 0$) i $b$ (amb $b \le 0$) que fan que $A$ sigui una matriu ortogonal (recordeu que una matriu $P$ és ortogonal si $P P^T = I_n$).

$a =$

$b =$

b.

Per als valors obtinguts a l'apartat anterior, trobeu la matriu $X$ que satisfà l'equació matricial $AX + B = C$, on:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.$$

P6/2 (10 punts). Matriu ortogonal i equació matricial

Sigui la matriu:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & b & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}.$$

a.

Determineu els valors de $a$ ($a \le 0$) i $b$ ($b \le 0$) que fan que $A$ sigui ortogonal ($P P^T = I_n$).

b.

Amb els coeficients determinats prèviament, aïlleu i calculeu la matriu $X$ que resol $AX + B = C$, on:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.$$

P7/1 (15 punts). Derivació implícita i recta tangent

Es considera la corba definida implícitament per:

$$3\sqrt{x - y} + k(1 - x) = -2xy, \quad \text{on } k \in \mathbb{R}.$$

a.

Comproveu que el punt $(1, -3)$ pertany a la corba per a qualsevol valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$.

b.

Assumint que $y$ és una funció derivable respecte de $x$, trobeu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt $(1, -3)$ en funció de $k$.

c.

Justifiqueu si existeix algun valor de $k$ per al qual el punt $(0, -1)$ pertanyi a la corba i la recta tangent en aquest punt tingui per equació $y = \frac{5}{3}x - 1$.

Sí

No

P7/2 (15 punts). Derivació implícita i recta tangent

Es considera la corba donada per l'expressió implícita:

$$9\sqrt{x - y} + k(1 - x) = -6xy, \quad \text{amb } k \in \mathbb{R}.$$

a)

Comproveu que el punt $(1, -3)$ pertany a la corba per a qualsevol valor de $k \in \mathbb{R}$.

b)

Suposant que $y$ és funció de $x$, determineu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt $(1, -3)$ en funció de $k$.

c)

Justifiqueu si existeix algun valor de $k$ per al qual el punt $(0, -1)$ pertanyi a la corba i la recta tangent en aquest punt sigui $y = \frac{5}{3}x - 1$.

Sigui $f(x)$ una funció amb funció derivada:

$$f'(x) = \frac{(x-1)(x-k)}{x}, \quad \text{amb } k \neq 0.$$

a.

Classifiqueu els extrems relatius de la funció $f$ segons els valors del paràmetre $k$.

Sigui $f(x)$ una funció amb funció derivada:

$$f'(x) = \frac{(x-1)(x-k)}{x}, \quad \text{amb } k \neq 0.$$

b. Trobeu la família de totes les funcions $f(x)$ que satisfan la derivada donada:

Es considera una funció $f(x)$ tal que la seva derivada és:

$$f'(x) = \frac{(x - 2)(x - k)}{x}, \quad \text{on } k \neq 0.$$

a.

Determineu els màxims i mínims locals de la funció $f$ en funció dels valors que prengui $k$.

Es considera una funció $f(x)$ tal que la seva derivada és:

$$f'(x) = \frac{(x - 2)(x - k)}{x}, \quad \text{on } k \neq 0.$$

b.

Calculeu l'expressió general de les funcions $f(x)$ que tenen per derivada la funció donada.