Examen de Matemàtiques I UPF 2020 · recuperació de (curs 2020-21)

1 P1/V1 (10 punts). Circumferències i punts d'intersecció

Es plantegen les corbes del pla següents:

$$E_1: x^2 + y^2 - 4y - 6x + 4 = 0$$

i

$$E_2: x^2 + y^2 - 3x - y - 2 = 0$$

a.

Indiqueu quina o quines d'aquestes equacions defineixen una circumferència. En cas afirmatiu, determineu-ne el centre i el radi corresponent.

Corba $E_1$:

Corba $E_2$:

b.

Calculeu la totalitat dels punts d'intersecció comuns a ambdues corbes.

2 P1/V2 (10 punts). Circumferències i punts d'intersecció

Es consideren les corbes descrites per:

$$E_1: x^2 + y^2 + 4y - 6x + 13 = 9$$

i

$$E_2: x^2 + y^2 + 3x + y - 2 = 0$$

a.

Esbrineu quina o quines d'aquestes corbes són circumferències. Per a aquelles que ho siguin, doneu el centre i el valor del radi.

Corba $E_1$:

És circumferència?

(

,

)

Corba $E_2$:

És circumferència?

(

,

)

b.

Trobeu tots els punts en què s'intersequen aquestes dues corbes.

Punt 1: (

,

)

Punt 2: (

,

)

3. P1/V3 (10 punts). Circumferències i punts d'intersecció

Donades les corbes definides per:

$$E_1: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$$

i

$$E_2: x^2 + y^2 - x + 3y + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

a.

Determineu quina o quines representen una circumferència, calculant-ne el centre i el radi.

($$, $$)

($$, $$)

b.

Calculeu tots els punts d'intersecció entre ambdues corbes.

($$, $$)

($$, $$)

4. P1/V4 (10 punts). Circumferències i punts d'intersecció

Considereu les corbes:

$$E_1: x^2 + y^2 + 4x + 6y + 15 = 11$$

i

$$E_2: x^2 + x + y^2 + 3y - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

a.

Indiqueu si són circumferències i, si és el cas, trobeu-ne el centre i el radi.

($$, $$)

($$, $$)

b.

Trobeu els punts on es tallen les dues corbes.

($$, $$)

($$, $$)

5. P2/V1 (15 punts). Estudi de funcions i desigualtat amb paràmetre

Siguin les funcions $f(x) = (x - 1)^2 + k$ i $g(x) = 2x - 1$.

a.

Realitzeu un esbós gràfic d'ambdues funcions, explicant com varia la gràfica de $f(x)$ en funció del paràmetre $k$.

b.

Trobeu la imatge o recorregut de cadascuna de les funcions.

c.

Resoleu la inequació $f(x) \le g(x)$ segons els possibles valors del paràmetre real $k \in \mathbb{R}$.

6. P2/V2 (15 punts). Estudi de funcions i desigualtat amb paràmetre

Considereu les funcions $f(x) = (x - 2)^2 + k$ i $g(x) = 2x - 3$.

a.

Esbosseu gràficament les dues funcions i descriviu el comportament geomètric de $f(x)$ respecte a $k$.

b.

Determineu el recorregut d'ambdues funcions.

c.

Trobeu el conjunt de solucions de $f(x) \le g(x)$ en funció de $k \in \mathbb{R}$.

7 P2/V3 (15 punts). Estudi de funcions i desigualtat amb paràmetre

Siguin $f(x) = (x - 1)^2 + k$ i $g(x) = 2x - 1$.

a.

Dibuixeu un esbós de les gràfiques indicant l'efecte del paràmetre $k$ sobre $f(x)$.

b.

Trobeu el recorregut de les dues funcions.

c.

Resoleu la desigualtat $f(x) \ge g(x)$ en funció del valor de $k \in \mathbb{R}$.

8 P2/V4 (15 punts). Estudi de funcions i desigualtat amb paràmetre

Es defineixen les funcions $f(x) = (x - 2)^2 + k$ i $g(x) = 2x - 3$.

a.

Feu un esbós gràfic de totes dues i comenteu la incidència de $k$ en la gràfica de $f$.

b.

Determineu el recorregut de $f$ i $g$.

c.

Resoleu la inequació $f(x) \ge g(x)$ en funció de $k \in \mathbb{R}$.

9 P3/V1 (15 punts). Modelització del creixement i decreixement de poblacions

Des de l'any 2010 es fa el seguiment demogràfic de dues ciutats, $A$ i $B$. De la ciutat $A$ es coneix que l'any 2012 tenia $10.500$ habitants i que augmenta cada any en $250$ habitants de forma constant. De la ciutat $B$ se sap que l'any 2013 comptava amb $30.000$ habitants i que la seva població es redueix un percentatge fix cada any, assolint els $25.000$ habitants l'any 2016.

a.

Determineu la funció que modelitza el nombre d'habitants de la ciutat $A$ en funció del temps $t$, assignant $t = 0$ a l'any 2010.

b.

Calculeu la funció que proporciona el nombre d'habitants de la ciutat $B$ en funció de $t$ ($t = 0$ a l'any 2010), el percentatge de pèrdua anual de població i el nombre d'habitants l'any 2010.

%

c.

Indiqueu, si és el cas, en quins anys la població de la ciutat $B$ supera el doble de la població d'$A$.

10. P3/V2 (15 punts). Modelització del creixement i decreixement de poblacions

A partir de l'any 2010 es registren les poblacions de dues ciutats, $A$ i $B$. L'any 2012 la ciutat $A$ tenia 21.000 habitants i creix anualment en 500 habitants. La ciutat $B$ tenia 60.000 habitants el 2013 i decreix en una proporció percentual fixa per any, registrant 50.000 habitants el 2016.

a.

Doneu la funció que descriu la població d'$A$ en funció de $t$ ($t = 0$ l'any 2010).

b.

Trobeu la funció per a la ciutat $B$, el percentatge anual de disminució i el nombre d'habitants que tenia el 2010.

c.

Determineu en quins anys la població de $B$ és més gran que el doble de la d'$A$.

11 P3/V3 (15 punts). Modelització del creixement i decreixement de poblacions

Des de 2010 s'estudien dues poblacions $A$ i $B$. L'any 2012 la ciutat $A$ tenia 5.250 habitants i augmenta en 125 habitants per any. La ciutat $B$ en tenia 15.000 el 2013 i disminueix a raó d'un percentatge fix anual, arribant a 12.500 habitants l'any 2016.

a.

Trobeu la funció per a la ciutat $A$ en funció de $t$ ($t = 0$ el 2010).

b.

Calculeu la funció per a la ciutat $B$, la taxa percentual de decreixement anual i el cens el 2010.

c.

Indiqueu quan la població de $B$ supera el doble de la d'$A$.

12 P4/V1 (10 punts). Càlcul de la funció primitiva amb condició inicial

Determineu la funció $f(x)$ que verifica la condició inicial $f(0) = \frac{1}{k}$ i té per derivada:$$f'(x) = e^{-kx} + \frac{1}{k(x+1)} + \frac{1}{(kx+1)^2} + (kx-1)(kx+1),$$on $k\neq 0$ és una constant real. Indiqueu els passos del càlcul i les propietats d'integració aplicades.

13 P4/V2 (10 punts). Càlcul de la funció primitiva amb condició inicial

Trobeu la funció $f$ tal que $f(0) = \frac{1}{k}$ i la seva derivada és:$$f'(x) = e^{-kx} + \frac{1}{k(x+1)} + \frac{1}{(kx+1)^2} + (kx-2)(kx+2),$$on $k\neq 0$ és un paràmetre real. Detalleu el procés d'integració.

14 P4/V3 (10 punts). Càlcul de la funció primitiva amb condició inicial

Calculeu l'expressió de $f(x)$ sabent que $f(0) = \frac{1}{k}$ i que:$$f'(x) = e^{-kx} + \frac{1}{k(x+1)} + \frac{1}{(kx+1)^2} + (kx-3)(kx+3),$$amb $k\neq 0$. Detalleu les regles emprades.

15 P5/V1 (10 punts). Combinació lineal i ortogonalitat de vectors

Es donen els vectors de $\mathbb{R}^3$: $\vec{u} = (1, -1, 4)$ i $\vec{v} = (2, 1, -3)$.

a.

Justifiqueu si el vector $(3, 3, -10)$ es pot expressar com a combinació lineal d'$\vec{u}$ i $\vec{v}$. En cas afirmatiu, trobeu-ne els coeficients.

Sí

No

$\alpha =$

$\beta =$

b.

Trobeu tots els vectors de norma 2 que siguin combinació lineal d'$\vec{u}$ i $\vec{v}$ i que, alhora, siguin ortogonals al vector $(1, 11, 3)$.

Escriviu els dos vectors de la forma $\vec{w}_1 = (0, y_1, z_1)$ i $\vec{w}_2 = (0, y_2, z_2)$ amb $y_1 > 0$ i $y_2 < 0$.

$(0,$

$,$

$)$

$(0,$

$,$

$)$

16 P5/V2 (10 punts). Combinació lineal i ortogonalitat de vectors

Siguin $\vec{u} = (1, -1, 4)$ i $\vec{v} = (2, 1, -3)$.

a.

Comproveu si $(5, 4, -13)$ és combinació lineal d'$\vec{u}$ i $\vec{v}$ i escriviu-ne l'expressió.

Sí

No

$\alpha =$

, $\beta =$

b.

Determineu els vectors de norma 2 que pertanyen al subespai generat per $\vec{u}$ i $\vec{v}$ i que són perpendiculars a $(1, 11, 3)$.

(

,

,

)

(

,

,

)

17 P5/V3 (10 punts). Combinació lineal i ortogonalitat de vectors

Donats $\vec{u} = (1, -1, 4)$ i $\vec{v} = (2, 1, -3)$:

a.

Esbrineu si $(7, 5, -16)$ és combinació lineal dels vectors anteriors.

És combinació lineal?

$\alpha =$

$\beta =$

b.

Calculeu els vectors de norma 2 que siguin combinació lineal d'$\vec{u}$ i $\vec{v}$ i perpendiculars a $(1, 11, 3)$.

18 P6/V1 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Es considera la matriu $A$ i el vector $\vec{v}$ següents:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

a.

Es defineix $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$. Són els vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$ ortogonals?

Sí

No

b.

Demostreu que es compleix $A^3 = -I_2$.

Calculeu la matriu intermèdia $A^2 = A \cdot A$ per tal de deduir $A^3$:

c.

Calculeu la potència $A^{25}$.

19 P6/V2 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Siguin la matriu i el vector:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

a.

Definint $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$, determineu si $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són ortogonals.

Sí

No

b.

Demostreu la igualtat $A^3 = -I_2$. Calculeu la matriu $A^2$ o el resultat de $A^3$:

c.

Calculeu la potència $A^{26}$. Escriviu la matriu resultant o en funció de $A$:

20 P6/V3 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Donada la matriu $A$ i el vector $\vec{v}$:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

a.

Calculant $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$, esbrineu si $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són perpendiculars.

Sí

No

b.

Demostreu que $A^3 = -I_2$. Indiqueu la matriu resultant del càlcul de $A^3$ en funció de la matriu identitat $I_2$:

c.

Calculeu $A^{21}$ expressant el resultat en funció de $I_2$:

21 P6/V4 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Donats:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

a.

Si $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$, comproveu si són ortogonals.

Sí

No

b.

Comproveu que $A^3 = -I_2$.

c.

Trobeu la matriu $A^{16}$. Expressada en funció de $A$ o de la matriu oposada $-A$:

Considereu la corba definida de manera implícita per l'equació:

$$2 \ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2$$

a. Suposant que $y$ és funció derivable de $x$ al voltant del punt d'abscissa $x = 1$, trobeu l'equació de la recta tangent a la corba en aquest punt.

Considereu la corba definida de manera implícita per l'equació:

$$2 \ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2$$

b. Calculeu el diferencial $dy$ quan $x$ varia d'1 a 0,99 i utilitzeu-lo per a aproximar el valor de $y(0,99)$.

Sigui la corba definida per:

$$4\ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2$$

a. Determinar l'equació de la recta tangent en el punt on $x = 1$.

Sigui la corba definida per:

$$4\ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2$$

b. Calcular el diferencial $dy$ quan $x$ canvia d'1 a 0,98 i estimar el valor de $y(0,98)$.

Donada la corba: $$5 \ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2$$

a.

Calculeu la recta tangent a la corba en el punt amb $x = 1$.

Donada la corba: $$5 \ln(y - x) = e^{(1-x)y} - x + xy^2 - y^2$$

b.

Trobeu el diferencial de $y$ en passar $x$ d'$1$ a $0{,}97$ i aproximeu $y(0{,}97)$.

25 P8/V1 (15 punts). Optimització, monotonia i recorregut segons paràmetre

Es considera la funció d'una variable $f(x) = x^2 + k \ln(x^2)$, on $k$ és un paràmetre real.

a.

Determineu els òptims locals de $f$ i els seus intervals de creixement i decreixement en funció dels valors de $k$.

b.

Indiqueu quins d'aquests extrems locals són també òptims globals.

c.

Calculeu el recorregut o imatge de la funció $f(x)$ quan $k \ge 0$.

26 P8/V2 (15 punts). Optimització, monotonia i recorregut segons paràmetre

Sigui la funció $f(x) = x^2 + 2k\ln(x^2)$.

a.

Trobeu els extrems relatius i els intervals de monotonia segons el valor de $k$.

b.

Determineu quins òptims relatius són extrems absoluts.

c.

Trobeu la imatge de la funció quan $k \ge 0$.

27 P8/V3 (15 punts). Optimització, monotonia i recorregut segons paràmetre

Considereu la funció $f(x) = x^2 + 3k\ln(x^2)$.

a.

Determineu els òptims locals i els intervals de creixement i decreixement en funció de $k$.

b.

Indiqueu quins d'aquests extrems locals són globals.

c.

Doneu el recorregut de la funció en el cas que $k \ge 0$.