Ejercicio 18 - P6/V1 · Matemàtiques I UPF 2020

18 P6/V1 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Es considera la matriu $A$ i el vector $\vec{v}$ següents:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

a.

Es defineix $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$. Són els vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$ ortogonals?

Sí

No

b.

Demostreu que es compleix $A^3 = -I_2$.

Calculeu la matriu intermèdia $A^2 = A \cdot A$ per tal de deduir $A^3$:

c.

Calculeu la potència $A^{25}$.