Ejercicio P7/2 · Matemàtiques I UPF 2020

P7/2 (15 punts). Derivació implícita i recta tangent

Es considera la corba donada per l'expressió implícita:

$$9\sqrt{x - y} + k(1 - x) = -6xy, \quad \text{amb } k \in \mathbb{R}.$$

a)

Comproveu que el punt $(1, -3)$ pertany a la corba per a qualsevol valor de $k \in \mathbb{R}$.

b)

Suposant que $y$ és funció de $x$, determineu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt $(1, -3)$ en funció de $k$.

c)

Justifiqueu si existeix algun valor de $k$ per al qual el punt $(0, -1)$ pertanyi a la corba i la recta tangent en aquest punt sigui $y = \frac{5}{3}x - 1$.