Ejercicio 20 - P6/V3 · Matemàtiques I UPF 2020

20 P6/V3 (10 punts). Àlgebra matricial, ortogonalitat i potències

Donada la matriu $A$ i el vector $\vec{v}$:

$$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

a.

Calculant $\vec{w} = A \cdot \vec{v}$, esbrineu si $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són perpendiculars.

Sí

No

b.

Demostreu que $A^3 = -I_2$. Indiqueu la matriu resultant del càlcul de $A^3$ en funció de la matriu identitat $I_2$:

c.

Calculeu $A^{21}$ expressant el resultat en funció de $I_2$: